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Zinsrechnung

Bei der Zinsrechnung geht es darum, wie sich ein angelegtes oder geliehenes Kapital durch die Zinsen verändert. Im ersten Abschnitt werden Jahreszinsen berechnet, darauf folgend wird auch auf die Berechnung mit Zinseszinsen eingegangen.

Jahreszinsen

Die Berechnung der Zinsen für ein ganzes Jahr erfolgt mit Hilfe der Formel

    \[Z=K*\frac{p}{100}.\]

Dabei sind Z die Zinsen, K das Kapital und p der Zinssatz. Betrachtet man die Möglichkeit, dass eine Geldsumme nicht ein ganzes Jahr angelegt wird, sondern nur den Teil eines Jahres, dann ändert sich die Berechnung der Zinsen dadurch, dass die Dauer der Verzinsung berücksichtigt wird. Die Formeln für die Berechnung der Zinsen für t Tage beziehungsweise m Monate sind

    \begin{eqnarray*}Z&=&\frac{K*p*t}{100*360}\text{ bzw.}\\Z&=&\frac{K*p*m}{100*12}.\end{eqnarray*}

Dabei ist zu beachten, dass in der Zinsrechnung ein Jahr aus 12 Monaten zu je 30 Tagen besteht – dies bedeutet, dass zum Beispiel auch der Februar in dieser Rechnung 30 Tage hat. Ist beispielsweise ein Kapital von 1.000 € vom 3.2.2011 bis zum 5.7.2011 mit 5\% zu verzinsen, dann müssen wir zuerst die Anzahl der Tage vom 3.2. bis 5.7. berechnen. Dies sind 5 Monate und 2 Tage, also 152 Tage. Es ergeben sich für die Zinsen Z=\frac{1000*5*152}{100*360}=21,11.

Zinseszinsen

Zinseszinsen ergeben sich, wenn ein Kapital länger als ein Jahr angelegt wird. Wir bezeichnen im folgenden mit K_i,\ i>0 mit dem Kapital nach dem i-ten Jahr.  K_3 ist also das Kapital nach dem dritten Jahr.

Wenn ein Kapital K_0 mit dem Zinssatz p verzinst wird, hat man nach Ablauf eines Jahres ein Kapital von K_1=K_0(1+p). Dabei bezeichnet man q=1+p als Wachstumsfaktor, während der Zins p auch als Wachstumsrate bezeichnet wird. Die Wachstumsrate besagt, wie viel zu dem Kapital dazu kommt – die Zinsen – der Wachstumsfaktor gibt an, auf welche Höhe ein Kapital wächst. Betrachten wir ein Beispiel. Ein Kapital K_0 von 100 € wird mit einem Zinssatz von p=5\% verzinst. Die Wachstumsrate ist also 5\% – man bekommt 5\% des Kapitals dazu. Der Wachstumsfaktor ist 105\%=1{,}05, da das Kapital auf 105 € steigt.

Das Kapital, das am Ende des ersten Jahres entstanden ist, wird erneut angelegt. Nach Ablauf eines weiteren Jahres ergibt sich K_2=K_1(1+p)=K_0(1+p)^2 als Endkapital. Dieses Kapital kann man wiederum anlegen und erhält für das Ende des dritten Jahres K_3=K_0(1+p)^3 und allgemein nach n Jahren ein Kapital von

(1)   \begin{equation*}K_n=K_0(1+p)^n=K_0*q^n.\end{equation*}

Zinseszinsen bedeutet, dass auf die Zinsen, die man in früheren Jahren bekommen und auf dem Konto belassen hat, ebenfalls Zinsen gezahlt werden.

Ein Vergleich mit der Formel für Exponentialfunktionen zeigt, dass es sich bei dieser Formel um eine Exponentialfunktion handelt.

Betrachten wir einige Beispiele.

Nehmen wir an, wir haben ein Kapital, dass zu 10\% Zinsen festgelegt ist. Wir betrachten einerseits eine Wertetabelle und andererseits eine Grafik, um den Effekt der Zinseszinsen zu erkennen.

Jahr Kapital mit Zinseszinsen Kapital ohne Zinseszinsen Zinseszinsen
0 100 100 0
1 110 110 0
2 121 120 1
3 133,10 130 3,10
4 146,41 140 6,41
5 161,05 150 11,05
6 177,16 160 17,16
7 194,88 170 24,88
8 214,37 180 34,37
9 235,81 190 45,81
10 259,39 200 59,39
11 285,33 210 75,33
12 313,86 220 93,86
13 346,25 230 115,25
14 380,88 240 140,88
15 418,97 250 168,97
16 460,87 260 200,87
17 506,96 270 236,96
18 557,66 280 277,66
19 613,43 290 323,42
20 674,77 300 374,77

Wie wir sehen können, nehmen die Zinseszinsen mit jedem Jahr zu und jedes Jahr wird der Zuwachs stärker. Dies können wir auch der Abbildung unten entnehmen. Dort ist die Gerade die Entwicklung des Kapitals ohne Zinseszinsen und der obere Graph die Entwicklung des Kapitals mit Zinseszinsen. Die beiden Graphen laufen immer weiter auseinander, je größer die Zahl der Jahre wird. Der eingezeichnete Strich verdeutlicht die Höhe der Zinseszinsen nach 15 Jahren.

Zinseszinsen

Es soll das Endkapital ausgerechnet werden, dass sich aus einem Anfangskapital von 1.000 € bei einer Verzinsung von 7% nach 5 Jahren ergibt. Es ist K_5=1000*1{,}07^5=1402{,}55 €.

Bei der Frage nach dem Zinssatz, der dazu führt, dass ein Kapital von 1{.}000 € bei einer Laufzeit von 10 Jahren auf 1{.}500 € wächst, muss die obige Formel umgestellt werden:

    \[<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="http://lernwerkstatt-selm.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96b0434b1829890ae647f85cc3732311_l3.png" height="124" width="264" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{eqnarray*}&&K_n=K_0(1+p)^n\\\Longelftrightarrow&&i=\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}-1, \text{also}\\&&p=\sqrt[5]{\frac{1500}{1000}}-1=0{,}0844=8{,}44%.\end{eqnarray*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>\]

Um die Laufzeit zu berechnen, die ein Kapital von 1.000 € braucht, um sich bei einem Zinssatz von 6\% zu verdoppeln, benötigt man den Logarithmus:

    \[ n=\log_{1+p}\left(\frac{K_n}{K_0}\right)=\frac{\ln\left(\frac{K_n}{K_0} \right)}{\ln⁡(1+p)}.\]

In dem Beispiel ergibt sich n\approx 11{,}90 Jahre.

Unterjährige Verzinsung

Von unterjähriger Verzinsung wird gesprochen, wenn es in einem Jahr mehrere Zinstermine gibt. Dabei wird der Zinssatz entsprechend dem Zeitraum angepasst. Bei einem nominalen Zinssatz von 10\% und einer vierteljährlichen Verzinsung beträgt die Verzinsung für jede Periode \frac{10}{4}\%=2{,}5\%. Allgemein gilt für das Endkapital nach n Jahren bei m Verzinsungszeitpunkten im Jahr:

    \[K_n=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{m*n}.\]

Da innerhalb eines Jahres Zinseszinseffekte auftreten, ist der effektive Jahreszins i_e – das ist der Zins, der sich bei einmaliger Verzinsung ergäbe – höher als der nominale Zins. Er kann aus der Bedinung

    \[K_0(1+p_e)^n=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{m*n}\]

errechnet werden. Diese Bedingung besagt, dass ein Zinssatz p_e gesucht wird, der bei einmaliger Verzinsung im Jahr zum selben Endkapital führt, wie die Verzinsung mit dem nominalen Zinssatz bei unterjähriger Verzinsung. Auflösen dieser Gleichung führt zu

    \[p_e=\left(1+\frac{p}{m}\right)^{m}-1.\]

Lässt man die Anzahl der unterjährigen Verzinsungstermine gegen unendlich gehen, ergibt sich für den Wachstumsfaktor die Eulersche Zahl.

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