Suche

Drucken Drucken

Zentrische Streckung

Bei der zentrischen Streckung werden bei einer Figur ausgehend vom Streckzentrum Z alle Abstände zu diesem Zentrum in einem vorgegebenen Verhältnis verändert. Diese Aufgabe erledigt man, indem man durch das Streckzentrum und den gegebenen Punkt eine Gerade legt. Anschließend wird die auf der Gerade der entsprechende Punkt gesucht. Betrachten wir ein Beispiel. Das Zentrum der Streckung sei Z (1/1/1). Die Gerade

    \[g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}7\\0\\5\end{pmatrix}\]

soll vom Zentrum aus mit dem Faktor 2 gestreckt werden. Wir konstruieren zwei Punkte der Bildgeraden. Als erstes können wir den Stützvektor der Gerade nehmen. Um an sein Bild zu kommen, konstruieren wir eine Gerade durch Z und (2/3/4). Diese Gerade hat die Form

    \[g_1: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}.\]

Setzt man nun t=2, erhält man den Bildpunkt (3/5/7). Eine Prüfung ergibt, dass er in der Tat doppelt so weit von Z entfernt ist, wie (2/3/4). Ein weiterer Punkt der Gerade g ist (9/3/9). Eine Gerade durch diesen Punkt und Z hat die Form

    \[g_2: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}8\\2\\8\end{pmatrix}.\]

Setzt man u=2 erhält man mit (17/5/17) einen weiteren Punkt der Bildgeraden. Mit diesen beiden Punkte lässt sich nun eine Geradengleichung aufstellen.
Sind das Zentrum Z, ein Punkt P und dessen Bildpunkt P' gegeben, dann kann man aus dem Verhältnis der Abstände zum Zentrum das Streckverhältnis bestimmen:

    \[z=\frac{|\overrightarrow{ZP'}|}{|\overrightarrow{ZP}|}.\]

Hat man zwei Punkt und ihre jeweiligen Bildpunkte gegeben, so kann man das Zentrum errechnen. Man legt jeweils durch einen Punkt und den zugehörigen Bildpunkt eine Gerade. Der Schnittpunkt dieser Geraden ist das Streckzentrum Z.
Drucken Drucken

Schreibe einen Kommentar