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Wahrscheinlichkeitsrechnung: Grundbegriffe

Einige der Begriffe in diesem Abschnitt werden mit Hilfe eines Beispiels erläutert. Wir haben eine Urne, in der sich 5 weiße, 3 schwarze und 2 blaue Kugeln befinden.

Ein Wahrscheinlichkeitsexperiment beschreibt eine Situation, in der man eine Handlung vornehmen will. Der Ausgang dieser Handlung ist jedoch ungewiss. Es gibt eine endliche Anzahl von möglichen Ergebnissen. Die Menge all dieser Möglichkeiten nennt man den Ereignisraum. In unserem Beispiel ist der Ereignisraum \{\mbox{schwarz}, \mbox{weiß}, \mbox{blau}\}, weil dies die möglichen Ergebnisse in dem Zufallsexperiment „Ziehen einer Kugel aus der Urne“ sind.

Eine Wahrscheinlichkeit sagt etwas über eine Erwartung aus, wie oft ein Ereignis eines Wahrscheinlichkeitsexperiments eintritt, wenn das Experiment häufig genug durchgeführt ist.  Eine Wahrscheinlichkeit ist mit der „relativen Häufigkeit“ verwandt. Die relative Häufigkeit kann man allerdings erst berechnen, wenn das Experiment durchgeführt wurde; die Wahrscheinlichkeit ist eine Einschätzung bevor das Experiment durchgeführt wird.

Das „Gesetz der großen Zahl“ besagt, dass sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit annähert, wenn man das Experiment hinreichend oft (im Idealfall unendlich oft) durchführt.

Die Basisdefinition für eine Wahrscheinlichkeit ist

    \begin{equation*} P(\mbox{Ereignis})=\frac{\mbox{Anzahl zutreffende Ereignisse}}{\mbox{Anzahl aller Ereignisse}} \end{equation*}

Dabei bedeutet „`Anzahl zutreffende Ereignisse“‚, dass wir alle die Ereignisse addieren, auf die gewünschte Bedingung erfüllen.

In unserem Beispiel bedeutet dies:

    \[\begin{aligned} &&&P(\mbox{weiss})&=&&\frac{5}{10}&=0,5\\ &&&P(\mbox{schwarz})&=&&\frac{3}{10}&=0,3\\ &&&P(\mbox{blau})&=&&\frac{2}{10}&=0,2\\ &&&P(\mbox{rot})&=&&\frac{0}{10}&=0\\ \end{aligned}\]

Eine Wahrscheinlichkeit hat immer einen Wert zwischen 0 und 1; die Summe aller Ereignisse des Ereignisraums ist immer 1. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die nicht im Ereignisraum sind ist 0 – wie „rot“ im Beispiel.

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit  dafür, dass ein Ereignis nicht eintritt:

    \begin{equation*} P\left( \overline{\mbox{blau}}\right) =P\left( \mbox{weiss} \cap \mbox{schwarz}\right)=1-0,2=0,5+0,3=0,8 \end{equation*}

Dabei bedeutet der Strich über dem „blau“, dass genau alle Ereignisse gemeint sind, die nicht blau sind; man sagt dann: „Die Wahrscheinlichkeit von nicht-blau“. Es gilt

    \begin{equation*} P\left( \overline{\mbox{blau}}\right)=1-P\left(\mbox{blau} \right) \end{equation*}

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die Gegenwahrscheinlichkeit addieren sich immer zu 1.

Unter einem Laplace-Experiment versteht man ein Wahrscheinlichkeitsexperiment, bei dem alle möglichen Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, beispielsweise das Würfeln mit einem normalen, sechsseitigen Würfel oder das Werfen einer Münze.

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