Suche

Drucken Drucken

Vektorrechnung: Der Abstand zweier Geraden

Zwei Geraden haben dann einen von Null verschiedenen Abstand, wenn sie parallel oder windschief sind. Identische oder sich schneidende Geraden haben einen Abstand von Null.

Parallele Geraden

 Bei zwei parallelen Geraden ist der Abstand an jeder Stelle gleich groß. Es reicht daher einen Punkt der einen Gerade – zum Beispiel den Stützvektor – zu nehmen und seinen Abstand zu der anderen Gerade zu berechnen.

Windschiefe Geraden

 Zwei windschiefe Geraden sind zwei Geraden, die nicht parallel zueinander oder indentisch sind, und sich nicht schneiden. Aus den den beiden Richtungsvektoren der Geraden und einem der Stützvektoren konstruiert man eine Hilfsebene E. Diese Ebene enthält die eine Gerade und ist parallel zu der anderen. Da die zweite Gerade parallel zur Ebene ist, kann man den Abstand eines Punktes dieser Gerade – zum Beispiel des Stützvektors – zur Ebene (Methode 1: Lotfußpunkt, Methode 2: Hessesche Normalenform) bestimmen und hat damit die Aufgabe gelöst.

Betrachten wir ein Beispiel. Die beiden Geraden

    \begin{eqnarray*}g:\overrightarrow{x}&=&\left(\begin{array}{c}7\\7\\4\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}1\\-2\\6\end{array}\right)\ \textrm{und}\\ h:\overrightarrow{x}&=&\left(\begin{array}{c}3\\0\\5\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right) \end{eqnarray*}

sind windschief. Das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren ist der Normalenvektor der Ebene, der durch diese Vektoren gebildet wird:

    \[\left(\begin{array}{c}1\\-2\\6\end{array}\right)\textrm{X}\left(\begin{array}{c}1\\0\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\3\\2\end{array}\right).\]

Die Hessesche Normalform der Ebenengleichung, die den Stützvektor der Gerade g und damit die gesamte Gerade g enthält, ist dann

    \[E:\:\frac{1}{7}\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}7\\7\\4\end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{c}-6\\3\\2\end{array}\right)=0.\]

Die Gerade h ist parallel zu dieser Ebene. Damit reicht es den Abstand des Stützvektors von der Ebene zu bestimmen um den Abstand der beiden Geraden voneinander zu bestimmen. Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene wird dadurch bestimmt, dass der Punkt in die Hessesche Normalenform der Ebene eingesetzt wird:

    \[d=\left|\frac{1}{7}\left[\left(\begin{array}{c}3\\0\\5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}7\\7\\4\end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{c}-6\\3\\2\end{array}\right)\right|=\left|\frac{1}{7}\left(\begin{array}{c}-4\\-7\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-6\\3\\2\end{array}\right)\right|=\frac{1}{7}.\]

Alternativ kann auch eine zur Ebene senkrechte Gerade durch den Punkt gelegt werden und anschließend der Abstand zwischen dem Punkt und dem Schnittpunkt zwischen der Gerade und der Ebene bestimmt werden. Dies geschieht in der Abbildung. Dort sehen Sie im 4. Schritt die Hilfsebene und im 5. Schritt die zu dieser Ebene senkrechte Gerade, die durch den Stützvektor der anderen Gerade läuft. Im sechsten Schritt wird der Schnittpunkt von Gerade und Ebene ermittelt.

Drucken Drucken

Schreibe einen Kommentar

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert