Suche

Drucken Drucken

Vektorrechnung: Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden zu berechnen, benötigen wir eine Hilfsebene, die senkrecht zu der Geraden ist und den Punkt enthält. Dann werden der Schnittpunkt dieser Ebene und der Geraden bestimmt und anschließend der Abstand dieses Punktes zum gegebenen Punkt berechnet.

Damit ist sicher gestellt, dass wir zwischen dem gegebenen Punkt und der Geraden eine senkrechte – und damit die kürzeste – Verbindung haben.

Nehmen wir ein Beispiel. Wir wollen den Abstand des Punktes P\ (1/1/1) zur Geraden

    \[g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\5\\3\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)\]

ermitteln. Die zu g  senkrechte Ebene H, die durch P geht, hat beispielsweise die Form

    \begin{eqnarray*}&E:&\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)=0\\\Longleftrightarrow&&x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-6=0.\end{eqnarray*}

Die Berechnung des Schnittpunktes von Gerade und Ebene erfolgt durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebene:

    \begin{eqnarray*}&1+t+2(5+2t)+3(3+3t)-6&=0\\\Longleftrightarrow&14t+14&=0\\\Longleftrightarrow&t&=-1.\end{eqnarray*}

Einsetzen von t=-1 in die Geradengleichung ergibt den Punkt F (0/3/0). Der Abstand d zwischen den beiden Punkten F und P – und damit zwischen der Gerade g und Punkt P ist dann

    \[d&=&\sqrt{(1-0)^{2}+(1-3)^{2}+(1-0)^{2}}=\sqrt{6}.\]

Drucken Drucken

Schreibe einen Kommentar

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert