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Vektorrechnung: Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene (Methode Hessesche Normalenform)

In diesem Abschnitt soll zuerst der Abstand einer Ebene zum Koordinatenursprung und danach der Abstand zu einem beliebigen Punkt untersucht werden. In beiden Fällen wird die Hessesche Normalenform der Ebenengleichung benutzt.

Der Abstand zum Ursprung

Betrachten wir als Beispiel eine Ebene, die in der Hesseschen Normalenform durch

    \[E:\frac{1}{\sqrt{18}}*\begin{pmatrix}-4\\1\\1\end{pmatrix}*\vec{x}-\frac{3}{\sqrt{18}}=0 \]

gegeben ist. Dies kann auch als

    \[\frac{-4x_1+x_2+x_3}{\sqrt{18}}-\frac{3}{\sqrt{18}}=0\]

geschrieben werden. Beide Gleichungen geben all die Punkte an, die in der Ebene liegen. Ersetzt man die 0 in beiden Gleichungen jeweils durch ein d, so gibt d den Abstand der Ebene zu einem Punkt an. Setzt man den Ursprung in die Hessesche Normalenform ein, so sieht man, dass die Ebene \frac{3}{\sqrt{18}} vom Ursprung des Koordinatensystems entfernt ist.

Der Abstand zu einem beliebigen Punkt

Den Abstand zum Punkt S\ (1/1/1) erhält man durch Einsetzen dieses Vektors in die Hessesche Normalenform der obigen Ebenengleichung:

    \[d=\frac{1}{\sqrt{18}}*\left(\begin{array}{c}-4\\1\\1\end{array}\right)*\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)-\frac{3}{\sqrt{18}}=-\frac{2}{\sqrt{18}}-\frac{3}{\sqrt{18}}=-\frac{5}{\sqrt{18}}\]

Alternativ können wir auch die aus der Hesseschen Normalenform hervor gegangene Abstandsdefinition

    \[d=\frac{-4x_1+x_2+x_3}{\sqrt{18}}-\frac{3}{\sqrt{18}}\]

heranziehen und die Koordinaten des Punktes Px_1=x_2=x_3=1) einsetzen.

Diese Ergebnis ist negativ; der Abstand kann jedoch nur eine positive Größe sei. Daher ist der Abstand des Punktes von der Ebene \frac{5}{\sqrt{18}} – also der Betrag des Ergebnisses. Das Minuszeichen bedeutet, dass der Punkt S und der Ursprung auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen.

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