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Vektorrechnung: Der Abstand einer Gerade zu einer Ebene

Eine Gerade, die keinen Punkt mit einer Ebene gemeinsam hat, muss parallel zu dieser Ebene verlaufen. Nur in diesem Fall wird sich ein Abstand von ungleich Null ergeben, wenn wir Abstand als “geringstmöglichen Abstand” verstehen. Schneiden sich Ebene und Gerade, dann ist der Abstand im Schnittpunkt 0.

Eine Gerade und eine Ebene sind dann parallel zueinander, wenn das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene Null ist; der Normalenvektor – der um 90^\circ zur Ebene gedreht ist -, muss senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden sein, damit Ebene und Gerade parallel sind. Zusätzlich darf kein Punkt der Gerade in der Ebene liegen – ansonsten liegt die gesamte Gerade in der Ebene und der Abstand ist 0.

Betrachten wir ein Beispiel mit

    \begin{eqnarray*}E:&\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right)&=0\\g:&\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\2\\-4\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}2\\0\\2\end{array}\right)&\end{eqnarray*}

Als erstes prüfen wir, ob die Ebene und die Gerade parallel sind. Sie sind parallel, wenn der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Gerade senkrecht aufeinander stehen. Zur Überprüfung bilden wir das Produkt der beiden Vektoren:

    \[\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\0\\2\end{array}\right)=2-2=0.\]

Ebene und Gerade sind also parallel. Bei jedem anderen Ergebnis wäre der Abstand Null, weil es einen Durchstoßpunkt der Gerade durch die Ebene gibt – diesen kann man berechnen.

Der Abstand der Geraden von der Ebene ist überall gleich groß, da sie parallel sind. Es reicht also, wenn wir einen bekannten Punkt der Gerade – am besten den Stützvektor – nehmen und dessen Abstand zur Ebene berechnen (Methode 1: Lotfußpunkt, Methode 2: Hessesche Normalenform).

Beispielsweise kann man den Punkt in die Formel für die Abstandsberechnung mit Hilfe der Hesseschen Normalenform

    \begin{eqnarray*}&E:\vec{n_{0}}*\vec{x}-d=0&\\\Longleftrightarrow&d=\left|\vec{n_{0}}*\vec{x}\right|&\end{eqnarray*}

einsetzen. Dabei ist \vec{n_0} der Hessesche Normalenvektor der Ebene und \vec{x} der Ortsvektor. In diesem Beispiel ergibt sich:

    \[\vec{n_{0}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)\]

und mit

    \[\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-2\\2\\-2\end{array}\right)\]

folgt

    \[d=\left|\frac{(1*(-2)+0*2-1*(-4)}{\sqrt{2}}\right|&=&\left|\frac{2}{\sqrt{2}}\right|=\sqrt{2}.\]

Alternativ kann der Ortsvektor auch in die Hessesche Normalenform der Ebenengleichung eingesetzt werden. Dafür ergibt sich dann

    \[d=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)*\left(\begin{array}{c}-2\\2\\-2\end{array}\right)-\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(0-2\right)=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.\]

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