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Vektorrechnung: Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene (Methode Lotfußpunkt)

Um den Abstand eines Punktes zu einer Ebene zu berechnen, kann man eine zur Ebene senkrechte Gerade, die durch den gegebenen Punkt verläuft, konstruieren und anschließend den Abstand des gegebenen Punktes zum Schnittpunkt von Gerade und Ebene, dem Lotfußpunkt, ausrechnen.

Nehmen wir dazu ein Beispiel mit der Ebene

    \[E:-4x_1+x_2+x_3=3\]

und dem Punkt A (1|1|1). Die zu der Ebene senkrechte Gerade durch den Punkt A  ist

    \[g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+t*\left(\begin{array}{c}-4\\1\\1\end{array}\right).\]

Setzten wir nun diese Geradengleichung zeilenweise in die Ebenengleichung ein, um den Schnittpunkt zu ermitteln, ergibt sich die Gleichung

    \[-4(1-4t)+1+t+1+t=3.\]

Auflösen nach t liefert t=\frac{5}{18}. Der Abstand zwischen diesem Schnittpunkt und P beträgt somit

    \[\frac{5}{18}*\left(\begin{array}{c}-4\\1\\1\end{array}\right)\]

oder \frac{5}{\sqrt{18}}. Alternativ kann man auch den Abstand zwischen A und dem Lotfußpunkt B berechnen.

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