Drucken
Vektorrechnung: Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene (Methode Lotfußpunkt)
Veröffentlicht am 2. April 2015 | Von Michael Dröttboom | Leave a response
Um den Abstand eines Punktes zu einer Ebene zu berechnen, kann man eine zur Ebene senkrechte Gerade, die durch den gegebenen Punkt verläuft, konstruieren und anschließend den Abstand des gegebenen Punktes zum Schnittpunkt von Gerade und Ebene, dem Lotfußpunkt, ausrechnen.
Nehmen wir dazu ein Beispiel mit der Ebene
![\[E:-4x_1+x_2+x_3=3\]](http://lernwerkstatt-selm.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c796196c3f6d665bfca008fe9a1d31e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
und dem Punkt 
(1|1|1). Die zu der Ebene senkrechte Gerade durch den Punkt ist
![\[g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+t*\left(\begin{array}{c}-4\\1\\1\end{array}\right).\]](http://lernwerkstatt-selm.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41ea96146e751e4a0f6e35d3c25ea860_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Setzten wir nun diese Geradengleichung zeilenweise in die Ebenengleichung ein, um den Schnittpunkt zu ermitteln, ergibt sich die Gleichung
![\[-4(1-4t)+1+t+1+t=3.\]](http://lernwerkstatt-selm.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d5e7b400ba6ea629275ca4ba4dd0537_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Auflösen nach 
liefert 
. Der Abstand zwischen diesem Schnittpunkt und 
beträgt somit
![\[\frac{5}{18}*\left(\begin{array}{c}-4\\1\\1\end{array}\right)\]](http://lernwerkstatt-selm.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac65713a943e7c2c764f57cde0109883_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
oder 
. Alternativ kann man auch den Abstand zwischen und dem Lotfußpunkt B berechnen.
Posted in Lineare Algebra und analytische Geometrie, Mathematik
Drucken