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Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion zu einer Funktion kehrt Sachverhalt, der in der Funktion beschrieben wird, um.

Betrachten wir die Funktion, die den an einer Tankstelle getankten Litern Benzin die zu zahlende Geldmenge zuordnet. Nehmen wir einen Preis von 1,50 € pro Liter Benzin an, dann hat die Funktion die Form y=1,5x. Die Umkehrfunktion kehrt den Sachverhalt um. Sie beantwortet die Frage, wie viele Liter Benzin man für eine gegebene Geldmenge kaufen kann. Rechnerisch erhält man eine Umkehrfunktion, indem man in der ursprünglichen Funktion die Variablen vertauscht und dann wieder nach y auflöst:

    \begin{eqnarray*}&&x=\frac{3}{2}y\\\Longleftrightarrow && y=\frac{2}{3}x.\end{eqnarray*}

Graphisch erhält man die Umkehrfunktion, indem die ursprüngliche Funktion an der Geraden y=x – das ist ein 45^\circ-Winkel zwischen den Achsen eines Koordinatensystems – gespiegelt wird. Die Umkehrfunktion von f⁡(x) wird als f^{-1}(x) geschrieben. Nicht zu jeder Funktion gibt es eine Umkehrfunktion. Wenn bei der ursprünglichen Funktion ein y-Wert durch mehr als einen x-Wert erreicht werden kann, dann wird bei der Umkehrung der Funktion mindestens einem x-Wert mehr als ein y-Wert zugeordnet; es handelt sich dann um keine Funktion mehr. Ein Beispiel hierfür ist die quadratische Funktion. Wegen x^2=(-x)^2 gibt es für alle y-Werte ungleich 0 zwei zugeordnete x-Werte. Als Umkehrfunktion zur quadratischen Funktion wird daher der Teil der Wurzelfunktion definiert, der positive y– Werte ergibt.

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