Übungsaufgaben: Nullstellen von quadratischen Funktionen

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Übungsaufgaben: Nullstellen von quadratischen Funktionen

Veröffentlicht am 22. März 2015 | Von Michael Dröttboom | Leave a response

Finden Sie zu folgenden Gleichungen die Lösung:

$x^2+2x-35=0$

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Anwenden der p-q-Formel:
$\begin{eqnarray*}x_{1|2}&=&-1\pm\sqrt{1+35}\\&=&-1\pm6\\x_1=-7\ &v&\ x_2=5\end{eqnarray*}$
$4z^2-1,6z+0,84=0$

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Umformen der Gleichung in die Standardform für die p-q-Formel, indem durch 4 dividiert wird, ergibt $z^2-0,4z-0,21=0$
$\begin{eqnarray*}z_{1|2}&=&0,2\pm\sqrt{0,04+0,21}\\&=&0,2\pm\sqrt{0,25}\\&=&0,2\pm0,5\\z_1=-0,3\ &v&\ z_2=0,7\end{eqnarray*}$
$x^2-18x=40$

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Umformen ergibt: $x^2-18x-40=0$
$\begin{eqnarray*}x_{1|2}&=&9\pm\sqrt{18+40}\\&=&9\pm\sqrt{121}\\&=&9\pm11\\x_1-2\ &v&\ x_2=20\end{eqnarray*}$
$2,56x+x^2=-3,2$

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Umformen ergibt: $x^2+2,56x+3,2=0$
$\begin{eqnarray*}x_{1|2}&=&1,28\pm\sqrt{1,6384-3,2}\end{eqnarray*}$

und daher keine Lösung.

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Anwenden der p-q-Formel: $\begin{eqnarray}x_{1\|2}&=&-1\pm\sqrt{1+35}\\&=&-1\pm6\\x_1=-7\ &v&\ x_2=5\end{eqnarray}$

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Umformen der Gleichung in die Standardform für die p-q-Formel, indem durch 4 dividiert wird, ergibt $z^2-0,4z-0,21=0$ $\begin{eqnarray}z_{1\|2}&=&0,2\pm\sqrt{0,04+0,21}\\&=&0,2\pm\sqrt{0,25}\\&=&0,2\pm0,5\\z_1=-0,3\ &v&\ z_2=0,7\end{eqnarray}$

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Umformen ergibt: $x^2-18x-40=0$ $\begin{eqnarray}x_{1\|2}&=&9\pm\sqrt{18+40}\\&=&9\pm\sqrt{121}\\&=&9\pm11\\x_1-2\ &v&\ x_2=20\end{eqnarray}$

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Umformen ergibt: $x^2+2,56x+3,2=0$ $\begin{eqnarray}x_{1\|2}&=&1,28\pm\sqrt{1,6384-3,2}\end{eqnarray}$ und daher keine Lösung.

Wie viele gemeinsame Punkte hat die Gerade y=3x-4 mit den folgenden Parabeln?

$x^2$

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Umstellen ergibt: $x^2-3x+4=0$ . Einsetzen in die p-q-Formel: $x_{1|2}=1,5\pm\sqrt{2,25-4}$ ergibt keine Lösung.
$x^2-5x+3$

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Umstellen ergibt: $x^2-8x+7=0$ . Einsetzen in die p-q-Formel:
$\begin{eqnarray*}x_{1|2}&=&4\pm\sqrt{16-7}\\&=&4\pm\sqrt{9}\\&=&4\pm3\\x_1=1\ &v&\ x_2=7\end{eqnarray*}$
$x^2-x$

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Umstellen ergibt: $x^2-4x+4=0$ . Einsetzen in die p-q-Formel:
$\begin{eqnarray*}x_{1|2}&=&2\pm\sqrt{4-4}\\&=&2\pm\sqrt{4-4}\\&=&2\pm0\\&=&2\end{eqnarray*}$

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Umstellen ergibt: $x^2-3x+4=0$ . Einsetzen in die p-q-Formel: $x_{1\|2}=1,5\pm\sqrt{2,25-4}$ ergibt keine Lösung.

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Umstellen ergibt: $x^2-8x+7=0$ . Einsetzen in die p-q-Formel: $\begin{eqnarray}x_{1\|2}&=&4\pm\sqrt{16-7}\\&=&4\pm\sqrt{9}\\&=&4\pm3\\x_1=1\ &v&\ x_2=7\end{eqnarray}$

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Umstellen ergibt: $x^2-4x+4=0$ . Einsetzen in die p-q-Formel: $\begin{eqnarray}x_{1\|2}&=&2\pm\sqrt{4-4}\\&=&2\pm\sqrt{4-4}\\&=&2\pm0\\&=&2\end{eqnarray}$

Ein zweispuriger Tunnel kann durch die Funktion $y=- \frac{4}{25} x^2 + \frac{136}{25}$ (alle Maße in m) beschrieben werden.

Wie hoch ist der Tunnel?

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Gesucht ist der Scheitelpunkt. Die Parabel ist in Scheitelpunktsform. Die Höhe beträgt $\frac{136}{25}$ m.
Wie breit ist der Tunnel?

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Gesucht sind die Nullstellen. Die sind bei 6 und -6. Der Tunnel ist also 12 Meter breit.

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Gesucht ist der Scheitelpunkt. Die Parabel ist in Scheitelpunktsform. Die Höhe beträgt $\frac{136}{25}$ m.

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Gesucht sind die Nullstellen. Die sind bei 6 und -6. Der Tunnel ist also 12 Meter breit.

Können sich zwei LKW, die jeweils 3,50 Meter hoch und 3 Meter breit sind, im Tunnel begegnen?

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Gesucht ist die Breite des Tunnels in einer Höhe von 3,50 m. Wir lösen also das Problem $-\frac{4}{25}x^2+\frac{136}{25}=3,5$ . Umstellen ergibt: $\begin{eqnarray}-\frac{4}{25}x^2+\frac{136}{25}&=&3,5\|-\frac{136}{25}\\\frac{4}{25}x^2&=&\frac{97}{50}\|:\frac{4}{25}\\x^2&=&\frac{97}{8}\|\sqrt{}\\x&=& \pm 3,48\end{eqnarray}$ Jeder der LKW hat 3,48 Meter Platz. Dies dürfte für eine Vorbeifahrt reichen.

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Ein Kugelstoßer liegt vor dem letzten Versuch ihn seinem Wettbewerb mit 19,87 m auf Platz 3. Der Führende hat eine Weite von 20,10 m erreicht und der zweite kam auf 19,93 m. Er stößt seine Kugel auf einer Bahn, die durch die quadratische Funktion $y=-0,05x^{2}+0,91x+1,89$ beschrieben werden kann. Dabei gibt $y$ die Höhe der Kugel und $x$ die erreichte Weite an. Aus welcher Höhe stößt der Kugelstoßer die Kugel ab? Verbessert er sich mit seinem Stoß? Wie hoch fliegt die Kugel?

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Um die Abstoßhöhe zu errechnen, setzen wir 0 für $x$ in die Formel ein und erhalten $y=1,89$ . Der Kugelstoßer stößt also in einer Höhe von 1,89 Metern ab. Um die Stoßweite zu errechnen, muss man die Nullstellen suchen. Dies kann man beispielsweise über die p-q-Formel tun: $\begin{eqnarray}-0,05x^{2}+0.91x+1,89&=&0 \|:(-0,05)\\ \Longleftrightarrow x^{2}-18,2x-37,8&=&0 \|\mathsf{p-q-Formel}\\ \Longleftrightarrow x_{1/2}&=&9,1\pm\sqrt{9,1^{2}+37,8} \\ \Longleftrightarrow x_{1/2}&=&9,1\pm10,98\\ \Longleftrightarrow x_{1}=20,08\;&v&\;x_{2}=-1,88 \end{eqnarray}$ Der Kugelstoßer erzielt eine Weite von 20,08 m und verbessert sich auf Platz 2. Um die größte Höhe zu errechnen, benötigen wir den Scheitelpunkt der Funktion: (1) $\begin{eqnarray}y &=& -0,05x^{2}+0,91x+1,89\\&&-0,05(x^{2}-18,2x-37,8)\\&&-0,05(x\mathcircumflex2-18,2x+81,81-82,81-37,8)\\&&-0,05\left((x-9,1)^{2}-120,61\right)\\&&-0,05(x-9,1)^{2}+6,0305\end{eqnarray}$ Die Kugel erreicht nach 9,1 Metern ihre größte Höhe mit 6,0305 Metern.

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