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Trigonometrie

Die trigonometrischen Funktionen – Sinus, Kosinus und Tangens – beschäftigten sich mit den Zusammenhängen zwischen Seitenlängen und Winkelgrößen in einem rechtwinkligen Dreieck.

Sinus, Kosinus und Tangens

Sinus, Kosinus und Tangens sind in rechtwinkligen Dreiecken definiert. Um die Definitionen der drei Funktionen verstehen zu können, definieren wir einige Begriffe.

Abbildung 1: Ein rechtwinkliges Dreieck

In der Abbildung 1 mit einem rechtwinkligen Dreieck, bei dem der rechte Winkel \alpha ist, gibt es zum Winkel \beta die Ankathete c – dies ist die Kathete, die an dem Winkel liegt. Die zweite Seite, die an dem Winke \beta  liegt, ist die Hypotenuse a – diese liegt immer gegenüber vom rechten Winkel. Gleichzeitig ist c die Gegenkathete zum Winkel \gamma, weil sie die Kathete ist, die gegenüber von \gamma liegt. Dementsprechend ist b die Ankathete zu \gamma und die Gegenkathete zu \beta.

Die drei Größen Sinus, Kosinus und Tangens sind nun wie folgt definiert:

    \begin{eqnarray*}\sin⁡(\alpha)&=&\frac{\text{Gegenkathete zu } \alpha}{\text{ Hypotenuse}}\\ \cos⁡(\alpha)&=&\frac{\text{Ankathete zu }\alpa}{\text{Hypotenuse}}\\ \tan⁡(\alpha)&=&\frac{\text{Gegenkathete zu }\alpha}{\text{Ankathete zu }\alpha}.\end{eqnarray*}

In einem Beispiel können wir nun versuchen, aus Angaben eines rechtwinkligen Dreiecks andere Größen dieses Dreiecks zu berechnen. Nehmen wir als Beispiel ein Dreieck, bei dem – wie in Abbildung 1 – der rechte Winkel bei \alpha ist. Gegeben sind der Winkel \beta=32^\circ und die Seite b=6 cm. Aus der Formel

    \[\sin\beta=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{a}\]

kann durch Umstellen die Hypotenuse ausgerechnet werden:

    \[a=\frac{b}{\sin⁡(\beta)}=\frac{6 \text{ cm}}{\sin⁡(32^\circ)}=11,32\text{ cm}.\]

Der Winkel \gamma könnte über die 180^\circ-Regel für Dreiecke ermittelt werden. Hier wollen wir aber den Kosinus anwenden:

    \[\cos⁡ \gamma=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{a}=\frac{6 \text{ cm}}{11,32 \text{ cm}}=0,53.\]

Anwenden der Umkehrfunktion Arkuskosinus{{1}}[[1]]Die Umkehrfunktionen zum Sinus bzw. zum Kosinus werden auf Taschenrechnern oft mit \sin^{-1} und \cos ^{-1} bezeichnet.[[1]] ergibt:

    \[\gamma=\arccos⁡(0,53)=58^\circ.\]

Für die Seite c, die wir auch mit Hilfe des Satzes des Pythagoras bestimmen könnten, bekommen wir beispielsweise mit Hilfe des Tangens

    \[\tan⁡(\beta)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{b}{c}.\]

Umformen nach c ergibt:

    \[c=\frac{b}{\tan⁡(\beta)}=\frac{6 \text{ cm}}{\tan⁡(32^\circ)}=9,60 \text{ cm}.\]

Trigonometrische Rechenregeln

Für die trigonometrischen Funktionen gibt es einige Rechenregeln. Aus der Abbildung 2 kann man unter Verwendung des Satzes von Pythagoras eine Regel ablesen: \sin^2\alpha+cos^2\alpha=1.

Abbildung 2: Der Einheitskreis

Aufgrund der Periodizität von Sinus– und Kosinusfunktion gilt:

Grad
\sin⁡(90^\circ+\alpha)=\sin⁡(90^\circ-\alpha) \sin⁡(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin⁡(\frac{\pi}{2}-\alpha)
\sin⁡(180^\circ+\alpha)=-\sin⁡(180^\circ-\alpha) \sin⁡(\pi+\alpha)=-\sin⁡(\pi-\alpha)
\sin⁡(360^\circ+\alpha)=\sin⁡(360^\circ-\alpha) \sin⁡(2\pi+\alpha)=\sin⁡(2\pi-\alpha)
\sin⁡(360^\circ+\alpha)=\sin⁡(\alpha) \sin⁡(2\pi+\alpha)=\sin⁡(\alpha)
\cos⁡(90^\circ-\alpha)=-\cos⁡(90^\circ+\alpha) \cos⁡(\frac{\pi}{2}-\alpha)=-\cos⁡(\frac{\pi}{2}+\alpha)
\cos⁡(180^\circ-\alpha)=\cos⁡(180^\circ+\alpha) \cos⁡(\pi-\alpha)=-\cos⁡(\pi+\alpha)
\cos⁡(\alpha)=-\cos⁡(180^\circ+\alpha) \cos⁡(\alpha)=-\cos⁡(\pi+\alpha)
\cos⁡(360^\circ+\alpha)=\cos⁡(\alpha) \cos⁡(2\pi+\alpha)=\cos⁡(\alpha)
\sin⁡(90^\circ+\alpha)=\cos⁡(\alpha) \sin⁡(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos⁡(\alpha)
\cos⁡(90^\circ+\alpha)=-\sin⁡(\alpha) \cos⁡(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin⁡(\alpha)

Zudem gibt es noch die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen:

    \begin{eqnarray*}\sin⁡(\alpha+\beta)&=&\sin⁡\alpha\cos⁡\beta+\cos⁡\alpha\sin\beta⁡\\ \cos⁡(\alpha+\beta)&=&\cos\alpha\cos⁡\beta-\sin⁡\alpha\sin\beta\\ \tan⁡(\alpha+\beta)&=&\frac{\tan⁡\alpha+\tan⁡\beta}{1-\tan⁡\alpha\tan⁡\beta}\\ \sin⁡(2\alpha)&=&2\sin⁡\alpha\cos⁡\alpha\\ \cos⁡(2\alpha)&=&\cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)=2\cos^2(\alpha)-1\\ \tan⁡(2\alpha)&=&\frac{2-tan⁡(\alpha)}{1-tan^2(\alpha)}\end{eqnarray*}

 

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