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Trigonometrische Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen – insbesondere die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion – werden beispsielweise dazu benutzt zyklische Wachstumsvorgänge zu beschreiben.

Sinus- Kosinus- und Tangensfunktion

Die einzelnen Werte für den Sinus, den Kosinus oder den Tangens eines Winkels kann man mit Hilfe eines Einheitskreises ermitteln. Ein Einheitskreis – wie in Abbildung 1 – hat einen Radius von 1. Somit ist jedes Dreieck, das vom Ursprung des Koordinatensystems, einem beliebigen Punkt der Kreislinie und und dem Punkt, der sich durch ein Lot von dort auf die x-Achse ergibt, ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse von der Länge 1.

Abbildung 1: Der Einheitskreis

Mit den oben genannten Definitionen für den Sinus und den Kosinus können damit die Werte für einen einzelnen Winkel abgelesen werden. Der Sinus entspricht der Gegenkathete, im Beispiel des Dreiecks 0AB ist die die Länge der Strecke \overline{AB}. Der Kosinus entspricht der Ankathete des Winkels, also der Länge der Strecke \overline{0B}.

Der Tangens ergibt sich graphisch aus der Anwendung eines Strahlensatzes. Der Tangens ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Bildet man nun einen Strahlensatz mit diesen beiden Größen, so ergibt sich in Abbildung 1:

    \[\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{0B}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{0D}}.\]

Unter Beachtung der Tatsache, dass die Strecke 0D die Länge 1 hat, entspricht die Länge der Strecke CD somit genau der Größe des Tangens des Winkels \alpha.

 

Abbildung 2: Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion

Lässt man nun den Winkel am Ursprung verschiedene Größen annehmen und zeichnet diese in ein Koordinatensystem, so erhält man die Abbildung 2 mit den Funktionen.

Die Funktionswerte für den Sinus bzw. den Kosinus bewegen sich zwischen -1 und 1; kleinere Werte als -1 und größere Werte als 1 können sich nicht ergeben – graphisch ist die Begründung dafür, dass der Kreis den Radius 1 hat. Beide Funktionen verlaufen in Wellenformen; die Kosinusfunktion ist gegenüber der Sinusfunktion um 90^\circ bzw. um \pi (im Bogenmaß) verschoben. Die Funktionswerte des Tangens liegen zwischen -\infty und \infty – dies ist eine Folge der Tatsache, dass durch die Länge der Ankathete dividiert wird; diese Länge kann den Wert Null annehmen.

Wachstumsprozesse

Das zyklische Wachstum wird mit Hilfe trigonometrischer Funktionen – meist der Sinusfunktion – modelliert. Die allgemeine Form der Sinusfunktion ist

    \begin{equation*} f(x)=a*sin(bx+c)+d. \end{equation*}

Normalerweise geht die Sinusfunktion durch den Ursprung des Koordinatensystems, hat einen Maximalwert von 1, einen Minimalwert von -1 und wiederholt sich alle 360° bzw.\ 2 \pi.
Sinusfunktion
Die Sinusfunktion sieht wie eine große Welle aus. Daher ist sie gut geeignet, zyklische Wachstumsvorgänge zu beschreiben. Bei zyklischen Wachstumsvorgängen wiederholen sich bestimmte Werte immer wieder, wie beispielsweise der Wasserstand bei Ebbe und Flut oder Temperaturen im Jahresablauf. Allerdings sind diese Wachstumsvorgänge nicht so, dass sie immer durch den Ursprung gehen und sich nach genau 2\pi Zeiteinheiten wiederholen oder zwischen 1 und -1 schwanken. Um die Sinusfunktion anzupassen, sind die Parameter in der obigen Gleichung da:

  • a verändert die Ausschläge der Sinusfunktion nach oben und unten. ist a=2, dann schwankt die Sinusfunktion nicht mehr zwischen 1 und -1, sondern zwischen 2 und -2. Die maximalen bzw. minimalen Ausschläge nennt man die Amplitude der Sinusfunktion.
  • d verschiebt die Sinusfunktion als ganzes nach oben. d=15 bedeutet, dass die Sinusfunktion nicht mehr um die x-Achse schwankt, sonder  um 15 Einheiten nach oben rutscht. Dies macht beispielsweise Sinn, wenn man Wasserstand an einer Meeresküste bestimmen will. Wenn der Mittelwert z.\ B.\ bei 8 Metern liegt und immer um 3 Meter nach oben und unten schwankt, dann ist d=8 und a=3.
  • Eine Änderung von b  bewirkt,dass die Sinusfunktion nach rechts und links auseinander gezogen b>1 oder zusammen geschoben 0<b<1 wird. Die Zeit, die die Sinusfunktion benötigt, um wieder in die Ausgangslage zu kommen, nennt man die Periodenlänge p. Es gilt p=\frac{2\pi}{b}. Bei unserem Beispiel wiederholt sich der Zustand des Meeres alle 6 Stunden, also ist p=6 und damit b=\frac{2\pi}{6}.
  • ß(c\) bewirkt eine Rechts- oder Linksverschiebung der Sinusfunktion. Dabei wird bei c>0 nach links verschoben und bei <c<0 nach rechts. Es wird dabei um \frac{c}{b} verschoben. Sollte das Normalwasser in unserem Beispiel also nicht um 0 Uhr, sondern um 3 Uhr sein, muss -3=\frac{c}{b}=\frac{c}{2\pi} sein, also c=-6\pi.

Die Sinusfunktion – hier damit die Funktion des Wasserstandes – sieht wie folgt aus \(f(x)=3*\sin(\frac{\pi}{3}x-\frac{6}{\pi}+15).\(:
Sinusfunktion_1

 

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