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Tilgungsrechnung

Bei der Tilgung geht es um die Rückzahlung von Darlehen sowie die Bezahlung der für das Darlehen anfallenden Zinsen. Dabei gibt es mehrere Methoden der Rückzahlung:

  • Gesamtfällige Tilgung
  • Ratentilgung
  • Annuitätentilgung

Wir betrachten ein Beispiel, bei dem die Kreditsumme K_0 10.000 € beträgt, die Laufzeit 4 Jahre und der Zinssatz p=5\%.

Gesamtfällige Tilgung

Bei der gesamtfälligen Tilgung fallen während der Laufzeit des Kredits nur Zinsen an; die Darlehenssumme wird am Ende in einer Summe mit der letzten Zinsszahlung bezahlt. Der Tilgungsplan sieht wie folgt aus:

Jahr Restschuld in €
am Jahresanfang
Zinsen
in €
Tilgung in € Zahlung
in €
Restschuld in €
am Jahresende
1 10.000 500 0 500 10.000
2 10.000 500 0 500 10.000
3 10.000 500 0 500 10.000
4 10.000 500 10.000 10.500 0
Abbildung 1: Endfällige Tilgung

In der Abbildung 1 sind die Zinsen blau, die Tilgung ist orange und die Gesamtzahlung als Summe aus Tilgung und Zinsen ist gelb. Man kann sehen, dass die Zinsen und die Gesamtzahlung bis auf das letzte Jahr gleich hoch sind, weil erst am Ende getilgt wird.

Ratentilgung

Bei der Ratentilgung werden jährlich gleich hohen Raten getilgt – dadurch sinken die Zinszahlungen mit der Zeit, während die Tilgung konstant bleibt. Die Zinszahlungen sinken, weil die Zinsen jeweils auf die Restschuld am Anfang des Jahres bezahlt wird.

Jahr Restschuld in €
am Jahresanfang
Zinsen
in €
Tilgung in € Zahlung
in €
Restschuld in €
am Jahresende
1 10.000 500 2.500 3.000 7.500
2 7.500 375 2.500 2.875 5.000
3 5.000 250 2.500 2.750 2.500
4 2.500 125 2.500 2.625 0
Abbildung 2: Ratentilgung

Bei der Ratentilgung ist die Tilgung (orange) jeweils gleich hoch. Die Zinsen (blau) sinken von Jahr zu Jahr, weil die zu verzinsende Restschuld geringer wird. In der Konsequenz sinken auch die Gesamtzahlungen (gelb) von Jahr zu Jahr.

Annuitätentilgung

Bei der Annuitätentilgung leistet der Schuldner jedes Jahr eine gleich hohe Gesamtzahlung an den Gläubiger. Die Summe aus Zinszahlung und Tilgung ist über die Jahre also konstant. Um die Höhe der Annuität zu berechnen, setzen wir den Endwert einer nachschüssigen Rente mit einer Zahlung in Höhe von A – dies entspricht den Zins- und Tilgungszahlungen – gleich dem aufgezinsten Wert des Darlehens K_n – dies entspricht der Gesamtzahlungsverpflichtung des Schuldners[1]:

    \begin{eqnarray*}&&A\frac{q^n-1}{q-1}=K_0q^n\\&\Longleftrightarrow &A=\frac{K_0 q^n (q-1)}{q^n-1}.\end{eqnarray*}

Einsetzen der Werte in diese Gleichung K_0=10.000, q=1,05, n=4) ergibt die Annuität in Höhe von A=2820,12 €.
Also hat der Tilgungsplan folgendes Aussehen:

Jahr Restschuld in €
am Jahresanfang
Zinsen
in €
Tilgung in € Zahlung
in €
Restschuld in €
am Jahresende
1 10.000 500 2320,12 2.820,12 7.679,88
2 7.679,88 383,99 2436,12 2.820,12 5.243,76
3 5.243,76 262,19 2.557,93 2.820,12 2.685.83
4 2.685,83 134,29 2.685,83 2.820,12 0

Beim Ausfüllen der Tabelle wird wie folgt vorgegangen:

  1. Es werden die Zinsen auf die Restschuld berechnet,
  2. Diese Zinsen werden von der Annuität subtrahiert, um die Tilgung zu erhalten,
  3. Die Tilgung wird von der Restschuld subtrahiert, um die neue Restschuld zu erhalten.

Diese drei Schritte werden für die gesamte Laufzeit des Darlehens wiederholt.

 

Abbildung 3: Annuitätentilgung

Wie man der Abbildung 3 entnehmen kann, ist die Gesamtzahlung (gelb) über alle Jahre konstant. Da die Restschuld wegen der Tilgung (orange) im Laufe der Zeit immer geringer wird, werden auch die Zinszahlungen (blau) kleiner.

Monatlich gezahlte Annuitäten

Bei monatlich gezahlten Annuitäten ergeben sich zwei Änderungen im Vergleich zu jährlich gezahlten Annuitäten:

  1. Für den Zinssatz wird der Zinssatz pro Monat genommen; der Jahreszinssatz wird also durch 12 geteilt,
  2. Die Laufzeit n wird in Monaten angegeben.

Schauen wir uns ein Beispiel an, bei dem 10.000 € in 10 Monaten bei 5\%  Zinsen zurück gezahlt werden müssen. Der Zinssatz pro Monat beträgt nun p=\frac{5\%}{12}=0{,}41\overline{6}\%. Nach Einsetzen der Werte in die Formel zur Berechnung der Annuität ergibt sich

    \begin{eqnarray*}A=\frac{10000*1{,}0041\overline{6}^{10} *(1{,}0041\overline{6}-1)}{1{,}0041\overline{6}^{10}-1}=1{.}023{,}06.\end{eqnarray*}

Der Tilgungsplan ist dann wie folgt:

Monat Restschuld
am Jahresanfang
in €
Zinsen
in €
Tilgung
in €
Zahlung
in €
Restschuld
am Jahresende
in €
1 10.000,00 41,67 981,39 1.023,06 9.018,61
2 9.018,61 37,58 985,48 1.023,06 8.033,13
3 8.033,13 33,47 989,59 1.023,06 7.043,54
4 7.043,54 29,35 993,71 1.023,06 6.049,83
5 6.049,83 25,21 997,85 1.023,06 5.051,97
6 5.051,97 21,05 1.002,01 1.023,06 4.049,96
7 4.049,96 16,87 1.006,18 1.023,06 3.043,78
8 3.043,78 12,68 1.010,38 1.023,06 2.033,40
9 2.033,40 8,47 1.014,59 1.023,06 1.018,81
10 1.018,81 4,25 1.018,81 1.023,06 0,00
Footnotes    (↵ returns to text)
  1. Dabei ist q=1+\frac{p}{100} der Zinsfaktor.
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