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Symmetrie von Funktionen

Im Rahmen einer Kurvendiskussion wird eine Funktion darauf geprüft, ob Sie symmetrisch zur y-Achse (achsensymmetrisch) oder zum Ursprung (punktsymmetrisch) ist.Darüber hinaus gehende Symmetrien werden nicht geprüft.

Eine Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, wenn f⁡(x)=f(-x) gilt. Dies soll am Beispiel der Funktion f⁡(x)=x^6-x^4+2x^2 erläutert werden. Wir bilden f(-x)=(-x)^6-(-x)^4+2(-x)^2, ersetzen also in f⁡(x) jedes x durch ein -x. Da in diesem Beispiel alle -x gerade Exponenten haben und für gerade Exponenten (-x)^n=x^n ist, sind im Beispiel f⁡(x) und f(-x) gleich groß. Daher ist diese Funktion symmetrisch zur y-Achse.{{1}}[[1]]Es wird nur die Symmetrie zur y–Achse geprüft. Eine Symmetrie zu einer anderen Achse, wie sie etwa bei f⁡(x)=(x-1 )^2 zur Geraden x=1 vorliegt, wird hier nicht geprüft.[[1]]

Eine ganzrationale Funktion ist symmetrisch zur y-–Achse, wenn alle Exponenten gerade sind. Eine Zahl ohne Variable entspricht wegen x^0=1 einem geraden Exponenten.

Eine Funktion ist symmetrisch zum Ursprung, wenn -f⁡(x)=f(-x) gilt. Auch dies soll am Beispiel der Funktion f⁡(x)=x^3+x verdeutlicht werden. Zuerst bilden wir f(-x)=(-x)^3+(-x). Bei ungeraden Exponenten bleiben die Minuszeichen erhalten, also ist f(-x)=-x^3-x. Dies widerspricht der Bedingung für Symmetrie zur y-–Achse. Daher bilden wir -f⁡(x)=-(x^3+x)=-x^3-x. Dies stimmt mit f(-x) überein, so dass diese Funktion symmetrisch zum Ursprung ist.{{2}}[[2]]Es wird nur die Symmetrie zum Ursprung geprüft. Symmetrien zu anderen Punkten, wie sie zum Beispiel bei f⁡(x)= x^3 +1 zum Punkt (0/1 ) vorliegt, werden mit diesem Kriterium nicht erkannt.[[2]]

Ganzrationale Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung, wenn die Funktion ausschließlich ungerade Exponenten hat. Dabei ist zu beachten, dass x=x^1 zu den ungeraden und eine Zahl a=a*x^0 zu den geraden Exponenten zählt.

In den meisten Fällen wird eine ganzrationale Funktion sowohl gerade als auch ungerade Exponenten haben. Dann ist sie weder symmetrisch zur y–Achse, noch zum Ursprung.

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