Suche

Drucken Drucken

Substitution

Das Wort “Substitution” bedeutet “Ersetzung”. Bei dieser Methode der Berechnung von Nullstellen werden ein oder mehrere Terme der Funktion durch andere ersetzt, um einen Term zu erhalten, dessen Nullstelle einfacher berechnet werden kann. Nehmen wir als Beispiel die Funktion f⁡(x)=x^6+16x^3+64. Nullstellen dieser Funktion können weder direkt durch die pq-Formel noch durch Ausklammern ausgerechnet werden. Allerdings haben die beiden Exponenten eine Eigenart, die sich bei der Substitution gut nutzen lässt: Der eine Exponent ist doppelt so groß wie der andere. Daher können wir eine “Ersatzvariable” z=x^3 einführen, so dass sich die Funktion in eine Form verwandelt, die kompatibel zur pq-Formel ist: f⁡(z)=z^2+16z+64. Diese Funktion hat eine Nullstelle bei z=8. Nun sind wir nicht an einer Lösung für z interessiert, sondern an einer für x, daher wird nun “zurück substituiert”. Wir suchen eine Lösung für die Gleichung x^3=8 und erhalten x=2 als Lösung.

Diese Methode wird am meisten bei so genannten biquadratischen Funktionen angewendet. Dort ist der höhere Exponent 4 und der kleinere 2. Dort muss man beim Zurücksubstituieren darauf achten, dass man nur aus einer positiven Zahl die Wurzel ziehen kann und dass man dann zwei Ergebnisse erhält – ein positives und ein negatives. Eine weiteres Beispiel für den Einsatz der Substitution ist f(x)=e^{2x}+2e^x-9. Dort wird z=e^x gewählt.

Drucken Drucken

Schreibe einen Kommentar