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Strahlensätze

Mit Hilfe der Strahlensätze wird versucht, Aussagen über Streckenlängen zu treffen. Dabei werden Verhältnisgleichungen mit jeweils vier Streckenlängen aufgestellt, von denen man drei kennen muss, um die vierte zu bestimmen.

Abbildung 1: Die Strahlensätze

Um einen Strahlensatz aufstellen zu können, benötigt man zwei sich schneidende Geraden, die von zwei weiteren, zueinander parallelen Geraden geschnitten werden. Die beiden möglichen Fälle sind in der Abbildung 1 dargestellt: Der Scheitel S – das ist der Schnittpunkt der beiden Geraden – liegt auf einer Seite der beiden Parallelen (linkes Diagramm) oder zwischen den beiden Parallelen (rechtes Diagramm). Die Strahlensätze gelten unabhängig von der Lage des Scheitels zu den Parallelen.

Die Strahlensätze setzen Verhältnisse zueinander in Beziehung. Es gilt:[1]:

    \begin{eqnarray*}\frac{\overline{\text{SA}}}{\overline{\text{SB}}}&=& \frac{\overline{\text{SC}}}{\overline{\text{SD}}}\\ \frac{\overline{\text{SA}}}{\overline{\text{SB}}}&=&\frac{\overline{\text{AC}}}{\overline{\text{BD}}}\\ \frac{\overline{\text{SC}}}{\overline{\text{SD}}}&=&\frac{\overline{\text{AC}}}{\overline{\text{AD}}}\\ \frac{\overline{\text{SA}}}{\overline{\text{AB}}}&=&\frac{\overline{\text{SC}}}{\overline{\text{CD}}}.\end{eqnarray*}

Ganz allgemein gilt, dass das Verhältnis zweier sich entsprechender Strecken auf den schneidenden Geraden gleich ist. Dabei ist es egal, ob vom Scheitel aus gemessen wird oder Teilstrecken wie \overline{\textrm{AB}} genommen werden. Zieht man jedoch die Parallelenabschnitte in die Betrachtung mit ein, so muss auf den schneidenden Geraden immer vom Scheitel ausgegangen werden.

Footnotes    (↵ returns to text)
  1. Der Strich über den jeweiligen Strecken bedeutet, dass die Länge der Strecke eingesetzt wird