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Steigung von Funktionen

Der Begriff der Steigung ist bereits bei den linearen Funktionen verwendet worden. Dort beschreibt das m  in der Geradengleichung y=mx+b, wie sich der y-Wert verändert, wenn sich der x-Wert um eine Einheit erhöht. Die Steigung wurde bei einer linearen Funktion mit Hilfe der Formel

    \begin{equation*}m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\label{m}\end{equation*}

errechnet. Sobald eine Funktion keine Gerade ist – und damit die Steigung über den gesamten Kurvenverlauf nicht konstant ist – gestaltet sich die Berechnung der Steigung dieser Funktion in einem Punkt etwas schwieriger.

Prinzipiell unterscheidet man bei der Berechnung der Steigung die Steigung der Funktion in einem Bereich und die Steigung der Funktion in einem Punkt.

Als Beispiel bietet sich die Funktion an, die die Strecke angibt, die ein Auto zurücklegt. Dabei gibt die Funktion an, an welchem Punkt einer Strecke sich das Auto zu einer bestimmten Zeit befindet. Die Steigung dieser Funktion – also die Änderung der Strecke in einem bestimmten Zeitpunkt gibt die Geschwindigkeit an. Betrachtet man nun einen Zeitraum, um die Geschwindigkeit zu messen, dann spricht man von einer Durchschnittsgeschwindigkeit – dies wird mit Hilfe des Differenzenquotienten getan. Der Differentialquotient hingegen gibt die Steigung zum einem Zeitpunkt an – also die Momentangeschwindigkeit. Sowohl der Differenzenquotient als auch der Differentialquotient sind Hinleitungen zum Begriff der Ableitung einer Funktion.

 

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