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Standardnormalverteilung

Unter bestimmten Bedingungen kann die Normalverteilung als Abschätzung der Binomialverteilung genommen werden. Arbeitet man mit den Tabellen für die Binomialverteilung so stellt man fest, dass man für jeden Stichprobenumfang n eine eigene Tabelle benötigt. Die (Standard–)Normalverteilung oder Gauß–Verteilung kommt dagegen mit einer einzigen Tabelle aus.

Ebenso wie eine Binomialverteilung ist eine Normalverteilung durch den Stichprobenumfang n und die Wahrscheinlichkeit q gekennzeichnet. Aus diesen beiden Werten lässt sich wiederum der Erwartungs– oder Mittelwert \mu=n*q und die Streuung oder Standardabweichung \sigma=\sqrt{n*q*(1-q)} berechnen.

Die Binomialverteilung ist nicht kontinuierlich, das heißt sie ist nur für bestimmte – hier ganzzahlige – Werte definiert. Die Normalverteilung ist hingegen stetig; sie ist auch für Zwischenwerte definiert.

Die Normalverteilung ist eine normierte Verteilung. Die Fläche unter der Kurve der aggregierten Wahrscheinlichkeiten ist 1. Das bedeutet, dass man verschiedene normalverteilte Verteilungen besser miteinander vergleichen kann als binomialverteilte. Wenn bei zwei Normalverteilungen mit gleichem Erwartungswert die eine breiter ist als die anderen, dann hat die erste Verteilung eine höhere Standardabweichung.

 

Abbildung 1: Die Standardnormalverteilung

 

Die Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Standardnormalverteilung – diese nennt man auch Dichtefunktion. Die Standardnormalverteilung hat den Mittelwert \mu=0 und die Standardabweichung \sigma=1. Die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion ist

    \[\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \text{ e}^{-\frac{x^2}{2}.\]

Allgemein hat eine Normalverteilung mit dem Mittelwert μ und der Standardabweichung \sigma die Form

    \[\varphi(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \text{ e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}.\]

Wie bei der Binomialverteilung sind auch bei der Normalverteilung kumulierte Werte zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten wichtig, da man sie aus Tabellen – z.B. der Tabelle mit der kumulierten Wahrscheinlichkeit – ablesen kann. Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung \Phi(x)  ist wie folgt definiert:

    \[P(X \leq k)=\Phi(k)=\int\limits_{-\infty}^k \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{ e}^{-\frac{t^2}{2}}dt.\]

Dies ist genau die Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion bis zum gesuchten Wert k und damit die kumulierte Wahrscheinlichkeit.

Die Ergebnisse der Binomialverteilung kann man mit Hilfe der Standardnormalverteilung abschätzen. Diese Abschätzung wird immer ungenau sein; für \sigma>3{{1}}[[1]]\sigma ist die Standardabweichung der gegebenen Binomialverteilung[[1]] ist der Fehler aber so klein, dass die Normalverteilung eine gute Annäherung an die Binomialverteilung darstellt. Dabei gilt nach dem Satz von Moivre und Laplace für eine Binomialverteilung mit Erwartungswert \mu und Standardabweichung \(\sigma\(:

    \begin{eqnarray*}P( a \leq X \leq b ) &=& \Phi( \frac{b+0,5-\mu}{\sigma} )-\Phi( \frac{a-0,5-\mu}{\sigma})\\ P( X \leq b ) &=& \Phi (\frac{b+0,5-\mu }{\sigma}).\end{eqnarray*}

 

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