Suche

Drucken Drucken

Stammfunktion

Eine Stammfunktion F(x) zu einer Funktion f(x) ist dadurch gegeben, dass die Ableitung der Funktion F(x) der Funktion f(x) entspricht:

    \[F'(x)=f(x).\]

Da beim Ableiten konstante Faktoren entfallen, gibt es zu einer Funktion (f) nicht die Stammfunktion, sondern unendlich viele, die sich durch das absolute Glied unterscheiden.Für die weiteren Ableitungen gilt F'(x)=f''(x) und F''(x)=f'''(x). Damit lassen sich Aussagen über verschiedene Punkte der beiden Funktionen machen:

  1. Wenn die Funktion f(x) an der Stelle x_0 eine Nullstelle hat und ihre erste Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist, dann hat F(x) einen Extrempunkt. Es gilt dann nämlich F'(x_0)=0 und F''(x)\neq 0.
  2. Ein Extrempunkt der Funktion f(x) entspricht einem Wendepunkt von F(x) und umgekehrt. In einem Extrempunkt x_E von f(x) gilt f'(x_E)=F''(x)=E und f''(x_E)=F'''(x_E) \neq 0.

Die Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion ist einfach zu bestimmen. Es wird der umgekehrte Weg der Ableitung genommen; bei dieser wird der Exponent

  1. mit dem Koeffizienten multipliziert und
  2. um 1 erniedrigt.

Bei der Bildung der Stammfunktion – dem Integrieren – geht man in umgekehrter Reihenfolge und mit den entgegen gesetzten Rechnungen vor:

  1. Der Exponent wird um 1 erhöht,
  2. der Koeffizient wird durch den neuen Exponenten dividiert,
  3. es kann eine konstante c unbekannter Größe addiert werden.

Aus f(x)=ax^b kann man die Stammfunktion F(x)=\frac{a}{b+1}x^{b+1}+c ermitteln. Dabei kann c beliebige Werte annehmen. Diese Methode der Bildung der Stammfunktion kann man ebenfalls für einfache gebrochen-rationale Funktionen – wie f(x)=\frac{a}{x^b}=ax^{-b} und einfache Wurzelfunktionen wie f(x)=a\sqrt[n]{x^b}=ax^{\frac{b}{n}} anwenden.

Aufgabe: Zeigen Sie, dass F(x)=-\frac{a}{(b-1)x^{b-1}} eine Stammfunktion zu f(x)=\frac{a}{x^b}, b>1, b\in \mathbb{N} ist.

Lösung ->

Aufgabe: Zeigen Sie, dass F(x)=\frac{an}{b+n}\sqrt[n]{x^{b+n}} eine Stammfunktion zu f(x)=a\sqrt[n]{x^b} ist.

->

Für komplizierte Funktionen gibt es die partielle Integration – diese ist quasi die Umkehrung der Produktregel – und die Integration durch Substitution – quasi die Umkehrung der Kettenregel.

 

 

 

 

 

 

Drucken Drucken

Schreibe einen Kommentar