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Spiegelung

Wenn ein Punkt an einer Ebene gespiegelt werden soll, so bedeutet dies, dass man die (senkrechte) Entfernung dieses Punktes ermittelt und den Bildpunkt entsprechend weit entfernt auf der anderen Seite der Ebene berechnet.
Betrachten wir ein Beispiel. Die Ebene
\]E: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\5\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\1\\5\end{pmatrix}\]
hat den Normalenvektor (1/1/-1). Der Punkt (1/1/1) liegt nicht in dieser Ebene. Wir ermitteln nun den an der Ebene gespiegelten Bildpunkt zu (1/1/1). Die durch den Punkt (1/1/1) gehende Gerade, die senkrecht zu E  ist, hat die Form \]g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}.\]
Der Schnittpunkt von Ebene und Gerade ergibt sich, indem man das Gleichungssystem löst, dass sich daraus ergibt, wenn man die Ebenen– und die Geradengleichung gleich setzt. Als Schnittpunkt von Gerade und Ebene ergibt sich in unserem Beispiel der Punkt (2/2/0), da die Lösung des Gleichungssystems r=1 beinhaltet. Der Bildpunkt zu (1/1/1) ist jetzt der Punkt, der den gleichen Abstand von (2/2/0) hat wie (1/1/1), aber auf der anderen Seite der Ebene liegt. Diesen erhält man dadurch, dass man in der Geradengleichung r=2 setzt. Der Bildpunkt zu (1/1/1) ist daher (3/3/-1). Wenn man eine andere geometrische Figur spiegeln soll, berechnet man markante einzelne Punkt und verbindet dann die Bildpunkt miteinander. Für eine Gerade berechnet man beispielsweise zwei Punkte und konstruiert die Geradengleichung auf herkömmliche Weise.
 
Wird ein Punkt an einer Geraden gespiegelt, benötigt man eine Hilfesebene, die senkrecht zu der Geraden ist und durch den gegebene Punkt geht. Es wird dann der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene bestimmt. Anschließend wird der Spiegelpunkt bestimmt. Sehen wir uns dieses an einem Beispiel an. Die Gerade sei
\]g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\5\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}\] und der betrachtete Punkt sei P (1/1/1). Die gesuchte Hilfsebene ergibt sich durch \vex{n}\vec{x}=\vec{n}\vec{p}, wobei \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix} der Normalenvektor der Ebene – und gleichzeitig der Richtungsvektor der Geraden – ist und \vec{p}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} der Punkt ist, zu dem der Abstand gesucht wird. Es ergibt sich hier also
\]E: \begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\]
oder x+3y+4z=8. Der Schnittpunkt S zwischen der Geraden und der Ebene ergibt sich durch Einsetzen der Geradengleichungen in die Ebene:
\]1+s+(3*(5+3s)+4*(2+4s)=8.\] Auflösen ergibt s=-\frac{8}{13}. Wird dieser Wert in die Geradengleichung eingesetzt, erhalten wir den Schnittpunkt S \begin{pmatrx}\frac{5}{13}\\\frac{41}{13}\\\frac-{6}{13}\end{pmatrix}. Nun berechnen wir den Vektor \vec{PS} und addieren ihn zu \vec{S}, um den Spiegelpunkt zu erhalten:
\]\vec{PS}=\vec{S}-\vec{P}=\begin{pmatrix}\frac{5}{13}\\\frac{41}{13}\\-\frac{6}{13}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{8}{13}\\\frac{28}{13}\\-\frac{19}{13}\end{pmatrix}.\]Wenn wir diesen Vektor zu \vec{S} addieren, erhalten wir den Spiegelpunkt \(\vec{S‘}\(:
\]\vec{S‘}=\vec{S}+\vec{PS}=\begin{pmatrix}\frac{5}{13}\\\frac{41}{13}\\-\frac{6}{13}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{8}{13}\\\frac{28}{13}\\-\frac{29}{13}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{13}\\\frac{69}{13}\\-\frac{25}{13}\end{pmatrix}.\]
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