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Schnittwinkel

Hier wird die Berechnung von Winkeln zwischen verschiedenen Objekten (Geraden und Ebenen) beschrieben.

Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

In der ebenen Geometrie habe wir bereits den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden berechnet. Einen Schnittwinkel zwischen zwei Geraden gibt es nur, wenn die beiden Geraden sich schneiden, wenn sie also weder identisch noch parallel noch windschief sind. Den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren \vec{a} und \vec{b} berechnet man mit\]\cos⁡(\alpha)=⁡\left|\frac{\vec{a}\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}\right|.\]
Im Zähler des Bruchs steht dabei das Skalarprodukt der beiden Vektoren und im Nenner das Produkt der Längen der Vektoren. Diese Formel wird übrigens auch angewendet, um den Schnittwinkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen.
Nehmen wir als Beispiel die beiden Geraden

    \begin{eqnarray*}g: \vec{x}&=&\begin{pmatrix}2\\5\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}\ \text{und}\\⁡h: \vec{x}&=&\begin{pmatrix}2\\5\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\5\\1\end{pmatrix},\end{eqnarray*}

die sich im Punkt (2/5/4) schneiden. Eingesetzt in die obige Formel ergibt sich

    \begin{eqnarray*}&\cos⁡(\alpha)&= \left|\frac{\begin{pmatrix}1\\1\\2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}*\sqrt{4^2+2^2+2^2}}\right|\\&&=\left|\frac{1*4+1*2+1*2}{\sqrt{6}*\sqrt{24}}\right|\\&&=\frac{8}{12}\\&&=\frac{3}{4}\\\Longleftrightarrow &&\alpha=41,4^\circ.\end{eqnarray*}

Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen wird bis auf eine Änderung genau so berechnet wie der Schnittpunkt zwischen zwei Geraden im vorherigen Abschnitt. Die Änderung ist, dass statt der Richtungsvektoren der Geraden die Normalenvektoren \vec{n_1} und \vec{n_2} der Ebenen benutzt. Dabei gibt es nur einen Schnittwinkel, wenn die Ebenen nicht identisch oder parallel sind. Ist die Ebene in der Parameterform gegeben, so kann man das Vektorprodukt nutzen, um den Normalenvektor zu bestimmen. Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen ist daher
\]\cos⁡(\alpha)=⁡\left|\frac{\vec{n_1}\vec{n_2}}{\left|\vec{n_1}\right|\left|\vec{n_2}\right|}\right|.\]

Der Schnittwinkel zwischen einer Gerade und einer Ebene

Bei der Berechnung des Schnittwinkels zwischen einer Ebene und einer Geraden benötigt man den Richtungsvektor der Geraden \vec{b} und den Normalenvektor der Ebenen \vec{n}. Diese setzt man in die Formel
\]\sin(\alpha)=⁡\left|\frac{\vec{n}\vec{b}}{\left|\vec{n}\right|\left|\vec{b}\right|}\right|.\]
ein und berechnet so den Winkel. Es gibt nur dann einen Schnittwinkel, wenn sich Gerade und Ebene schneiden.

 

 

 

 

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