Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

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Veröffentlicht am 27. Mai 2012 | Von Michael Dröttboom | Leave a response

Zeichnet man zwei Geraden in ein Gleichungssystem, so können sich diese Geraden schneiden, sie können parallel sein oder identisch.{{1}}[[1]]Rechnerisch geht es um das Lösen von Gleichungssystemen.[[1]] Die Geraden sind identisch, wenn $y$ -Achsenabschnitt $b$ und Steigung $m$ übereinstimmen, sie sind parallel, wenn die $y$ -Achsenabschnitte verschieden und die Steigungen gleich sind und sie haben einen Schnittpunkt, wenn die Steigungen unterschiedlich sind. In diesem letzten Fall gibt es einen Schnittwinkel zwischen diesen beiden Geraden – und dieser soll im folgenden berechnet werden.

Steigung_zwei_Geraden — Abbildung 1: Zwei sich schneidende Geraden

Wie die Abbildung 1 zeigt, ist der Winkel $\measuredangle RPS$ gleich der Differenz zwischen den Winkeln $\measuredangle SPQ$ und $\measuredangle RPQ$ . Es werden also beide Winkel ausgerechnet und anschließend voneinander subtrahiert.

Für das Beispiel der Abbildung mit $m_{1}=4$ und

$m_{2}=2\(: <span class="ql-right-eqno"> </span><span class="ql-left-eqno"> </span><img src="http://lernwerkstatt-selm.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b032ec93c1a3cb5d0d81fb49332f178f_l3.png" height="77" width="301" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{eqnarray*}\alpha_{1}&=&\arctan{4}=75,96^{\circ}\\\alpha_{2}&=&\arctan{2}=63,43^{\circ}\\ \alpha=\left|\alpha_{1}-\alpha_{2}\right|&=&12,53^{\circ}\end{eqnarray*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>Es gibt auch einen kürzeren Weg. Aus den Additionsgesetzen für <a title="Trigonometische Funktionen" href="http://lernwerkstatt-selm.de/?p=388">trigonometrische Funktionen</a> folgt bei zwei Geraden mit den Steigungen \(m_{1}$

und $m_{2}$ für die Größe des eingeschlossenen Winkels $\alpha$ :

(1) $\begin{equation*}\tan{\alpha}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}*m_{2}}.\end{equation*}$

Einsetzen in die Formel ergibt \]\alpha=\arctan{\frac{4-2}{1+4*2}}=\arctan{\frac{2}{9}}=12,53^{\circ}.\]

Sollte eine der beiden Geraden eine positive und die andere eine negative Steigung haben, ändert sich an der Rechnung nichts. Es werden beide Einzelsteigungen ausgerechnet und die kleinere – und gleichzeitig negative – von der größeren subtrahiert. Damit ist das Ergebnis größer als der größere Einzelwinkel.

Der Schnittwinkel ist immer definiert als der kleinste Winkel zwischen den Geraden. Sollte sich für $\left|\alpha_{1}-\alpha_{2}\right|$ ein Wert über $90^\circ$ ergeben, dann ist der Schnittwinkel $\alpha=180-\left|\alpha_{1}-\alpha_{2}\right|$ .

Geraden, die senkrecht zueinander stehen, sind ein Spezialfall. Der Tangens von $90^\circ$ ist nicht definiert. Dies ist so, weil der Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus definiert ist. Der Kosinus von $90^\circ$ ist jedoch Null. Da durch Null nicht dividiert werden darf, ist der Tangens an dieser Stelle nicht definiert. Der Bruch auf der rechten Seite der Formel (1) ist dann ebenfalls nicht definiert, wenn der Nenner gleich Null ist. Daraus folgt für Geraden, die senkrecht aufeinander stehen:

$\begin{eqnarray*}&m_{1}m_{2} =-1&\\\Longleftrightarrow &m_{1}=-\frac{1}{m_{2}}.\end{eqnarray*}$