Satz von Vieta

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Veröffentlicht am 16. Mai 2012 | Von Michael Dröttboom | Leave a response

Der Satz von Vieta ist eine weitere Möglichkeit, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu finden. Nehmen wir an, dass eine quadratische Funktion die Nullstellen $x_1=a$ und $x_2=b$ hat. Somit lässt sich die Suche nach den Nullstellen als

(1) $\begin{eqnarray*}(x-a)(x-b)&=&0\\\Longleftrightarrow x^2-(a+b)x+ab&=&0\end{eqnarray*}$

schreiben. Ein Vergleich der Gleichung 1 mit der Ausgangsformel für die $p$ -– $q$ -–Formel

$x^2+px+q=0$

ergibt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen:

$\begin{eqnarray*}p&=&-(a+b)\\q&=&ab.\end{eqnarray*}$

Es werden zwei Zahlen gesucht, die addiert den negativen Wert des Koeffizienten vor dem $x$ ergeben und die multipliziert das absolute Glied der Gleichung ergeben.

Betrachten wir das Beispiel $x^2-5x+6=0$ . Das sich daraus ergebende Gleichungssystem ist

$\begin{eqnarray*}-a-b&=&-5\\ab&=&6.\end{eqnarray*}$

Wir suchen also zwei Zahlen, die addiert 5 ergeben und multipliziert 6. Diese beiden Zahlen sind 2 und 3. Mithin kann die Ursprungsgleichung auch als $(x-2)(x-3)=x^2-5x+6=0$ geschrieben werden. Die gesuchten Nullstellen sind $-2$ und $-3$ .