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Satz von Vieta

Der Satz von Vieta ist eine weitere Möglichkeit, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu finden. Nehmen wir an, dass eine quadratische Funktion die Nullstellen x_1=a und x_2=b hat. Somit lässt sich die Suche nach den Nullstellen als

(1)   \begin{eqnarray*}(x-a)(x-b)&=&0\\\Longleftrightarrow x^2-(a+b)x+ab&=&0\end{eqnarray*}

schreiben. Ein Vergleich der Gleichung 1 mit der Ausgangsformel für die p-–q-–Formel

    \[x^2+px+q=0\]

  ergibt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen:

    \begin{eqnarray*}p&=&-(a+b)\\q&=&ab.\end{eqnarray*}

Es werden zwei Zahlen gesucht, die addiert den negativen Wert des Koeffizienten vor dem x ergeben und die multipliziert das absolute Glied der Gleichung ergeben.
Betrachten wir das  Beispiel x^2-5x+6=0. Das sich daraus ergebende Gleichungssystem ist

    \begin{eqnarray*}-a-b&=&-5\\ab&=&6.\end{eqnarray*}

Wir suchen also zwei Zahlen, die addiert 5 ergeben und multipliziert 6. Diese beiden Zahlen sind 2 und 3. Mithin kann die Ursprungsgleichung auch als (x-2)(x-3)=x^2-5x+6=0 geschrieben werden. Die gesuchten Nullstellen sind -2 und -3.

 

 

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