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Rentenrechnung

Unter Renten versteht man die regelmäßige Ein- oder Auszahlung von Geldbeträgen gleicher Höhe. Anders als bei der Zinsrechnung gibt es nicht nur eine Zahlung, sondern mehrere.

Wir betrachten Zahlungsströme, die eine Zahlung pro Jahr beinhalten. Diese Zahlungen können zu Anfang des Jahres anfallen (vorschüssig) oder am Ende des Jahres (nachschüssig). Der Unterschied zwischen diesen beide Zahlungsweisen ist die, dass vorschüssige Zahlungen einmal öfter verzinst werden.

Neben der Frage, wann die Zahlungen geleistet werden, spielt es noch eine Rolle, wie die Zahlungen miteinander verglichen werden. Bei der Barwertmethode werden alle Zahlungen auf den Anfang t=0) abgezinst, bei der Endwertmethode werden alle Zahlungen auf den Endzeitpunkt aufgezinst t=n).[1] Der Barwert gibt dabei immer an, wie viel jemand bereit ist, für die ausstehenden Zahlungen vor deren Beginn zu bezahlen.

Betrachten wird die nachschüssige Zahlung einer Summe r über n Jahre. Die letzte Zahlung erfolgt im Jahr n und wird nicht verzinst, weil sie im Moment der Abrechnung erfolgt. Die vorletzte Zahlung wird ein Jahr lang verzinst, die drittletzte Zahlung zwei Jahre lang. Die erste Zahlung, die n Jahre vor dem Ende geleistet wurde, wird n-1 Jahre verzinst. Summiert man all diese Zahlungen auf, so ergibt sich als Endwert dieser Rente:

    \begin{eqnarray*}R_n&=&r+rq+rq^2+\ldots+rq^{n-2}+rq^{n-1}\\&=&r\left(1+q+q^2+\ldots+q^{n-2}+q^{n-1}\right)\\&=&r\sum\limits_{i=0}^{n-1}q^i.\end{eqnarray*}

Dabei bezeichnet q=1+\frac{p}{100} wie bei der Zinsrechnung den Aufzinsungsfaktor. Anwenden der Summenregel für geometrische Reihen[2] führt zur Formel für den Endwert einer nachschüssigen Rente:

    \[R^n_n=r\frac{q^n-1}{q-1}.\]

Aus diesem Endwert lässt sich sehr schnell der Barwert dieser Rente bestimmen. Der Endwert muss n Jahre abgezinst werden:

    \[R^n_0=R_n^n\frac{1}{q^n}=r\frac{q^n-1}{q-1}\frac{1}{q^n}.\]

Weiter oben wurde festgestellt, dass sich vor– und nachschüssige Renten dadurch unterscheiden, dass die vorschüssigen einmal mehr verzinst werden. Wenn der Endwert einer nachschüssigen Rente also wie oben berechnet wird, dann gilt für den Endwert einer vorschüssigen Rente

    \[R^v_n=qR^n_n=rq\frac{q^n-1}{q-1}\]

und dementsprechend für den Barwert einer vorschüssigen Rente

    \[R_o^v=R_n^v\frac{1}{q^n}=rq\frac{q^{n-1}}{q-1}\frac{1}{q^n}.\]

 

Footnotes    (↵ returns to text)
  1. Dabei bezeichnet n die Länge des Zahlungsintervalls.
  2. Allgemein gilt für die ersten n Glieder einer geometrischen Reihe s_n=\sum\limits_{i=0}^na_i=a_1\frac{q^{n+1}-1}{q-1}.
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