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Regel von L’Hospital

Die Regel von L’Hospital erlaubt es den Grenzwert einer Funktion zu bestimmen, wenn an der Grenze ein unbestimmter Ausdruck entsteht. Nehmen wir eine Funktion an, deren Grenzwert auf eine Aufgabe der Form

    \[\lim_{x\to x_0}\frac{f⁡(x)}{g⁡(x)}\ \text{mit}\ f⁡(x_0)=0\ \text{und}\ g⁡(x_0)=0\]

hinaus läuft. Der Grenzwert an der Stelle x_0 ist unbestimmt, da man nicht durch Null dividieren darf. Wenn im Zähler keine Null stünde, würde der Grenzwert gegen unendlich streben. In diesem Fall gilt aber

    \[\lim_{x\to x_0}\frac{f⁡(x)}{g⁡(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'⁡(x)}{g'⁡(x)},\]

falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. Sollte die rechte Seite ebenfalls unbestimmt sein, kann man die Regel von L’Hospital erneut anwenden. Nehmen wir als Beispiel die Funktion h⁡(x)=\frac{\sin⁡(x)}{x} und betrachten den Grenzwert für x\to 0. Beim Wert Null nehmen sowohl der Nenner als auch der Zähler den Wert Null an. Also bilden wir den Quotienten der beiden Ableitung von f⁡(x)=\sin⁡(x) und g⁡(x)=x .Es ergibt sich

    \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin⁡(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos⁡(x)}{1}=1.\]

Unbestimmt ist ein Grenzwert auf, wenn er gegen \infty oder -\infty strebt.
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