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Quadratische Funktionen und Parabeln

Als quadratische Funktionen werden alle ganzrationalen Funktionen bezeichnet, die als höchsten Exponenten ein Quadrat einer Variablen enthalten. Die Normalform der quadratischen Funktion lautet

(1)   \begin{equation*}y=a x^2 +bx+c. \end{equation*}

 

Quadratische Funktionen hat man beispielsweise bei folgenden Zusammenhängen:

  • Beim freien Fall nimmt die Strecke in Abhängigkeit von der Zeit quadratisch zu
  • Bei der Bewegung nimmt der Windwiderstand im Quadrat der Geschwindigkeit zu
  • Wenn bei einem Rechteck beide Seiten um den gleichen Faktor verlängert werden, nimmt die Fläche um das Quadrat dieses Faktors zu
  • Der Schuss oder Wurf eines Balles folgt meist auch einer quadratische Funktion
  • In der Architektur werden oftmals Parabeln als Torbögen genutzt
  • Wenn ein Auto gleichmäßig beschleunigt oder abgebremst wird, entspricht der zurückgelegte Weg einer quadratische Funktion
  • Parabolspiegel, wie sie bei Satellitenantennen genutzt werden, werden von quadratischen Funktionen beschrieben.

Um einen Eindruck vom Verlauf der Kurve einer quadratischen Funktion – man nennt diesen Graph Parabel –  zu bekommen, kann man eine Wertetabelle anlegen und die resultierenden Punkte in ein Koordinatensystem eintragen. Wie diese Parabeln aussehen kann, wird im folgenden beschrieben. Er hängt von diesen Faktoren ab:

  • Öffnung nach oben oder unten
  • Streckung oder Stauchung
  • Lage des Scheitelpunktes
  • Anzahl der Nullstellen

Besonders auffällig an einer Parabel ist der Scheitelpunkt. Dies ist – je nachdem, wie die Parabel geöffnet ist – der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. Eine Parabel ist immer symmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt.

Wichtig im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen sind die quadratische Ergänzung und die pq-Formel.

Öffnung

Abb1. Nach oben und unten geöffnete Parabeln

Die Parabel kann nach oben oder unten geöffnet sein. Dies wird von dem Faktor a in der obigen Gleichung bestimmt. Wenn a positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet; ist a negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet. Eine nach oben geöffnete Parabel, also eine mit einem positiven Faktor a vor dem Quadrat, hat als Scheitelpunkt einen Tiefpunkt, wie man der linken Abbildung entnehmen kann. Ist der Faktor a hingegen negativ, so handelt es sich bei dem Scheitelpunkt um einen Hochpunkt.

Streckung und Stauchung

Abb. 2: Gestauchte a=\frac{1}{2}) und gestreckte a=2) Parabeln

Der Faktor a bestimmt auch die Streckung oder Stauchung der Parabel. Damit ist gemeint, dass die Parabel einen weiteren oder engeren Bogen als die Normalparabel hat. Die Normalparabeln – bei denen |a|=1 gilt[1] – sind in der Abbildung 1 zu sehen. Sobald |a|>1 ist, nennt man die Parabel gestreckt, so wie dies in Abbildung 2  im rechten Teil der Fall ist. |a|>1 bedeutet, dass a entweder größer als 1 oder kleiner als -1 ist. Dabei ist die Parabel – je nach Vorzeichen – nach oben oder nach unten geöffnet. Gilt |a|<1 – ist also a zwischen -1 und 1 – dann nennt man die Parabel gestaucht. Die ist in Abbildung 2 im linken Bereich der Fall.

Scheitelpunkt

Mit dem Scheitelpunkt wird bei einer nach oben geöffneten Parabel der tiefste und bei einer nach unten geöffneten Parabel der höchste Punkt bezeichnet. In den Abbildungen 1 und 2 liegen die Scheitelpunkte jeweils im Ursprung des Koordinatensystems. Der Scheitelpunkt kann jedoch auch verschoben sein, d. h. er liegt nicht mehr im Ursprung. Die Verschiebung wird immer relativ zum Ursprung angegeben. Den Scheitelpunkt einer Parabel kann man der sogenannten Scheitelpunktsform der Gleichung entnehmen. Diese Scheitelpunktsform hat das Aussehen y=a(x- x_S )^2 + y_S. Der Scheitelpunkt liegt beim Punkt S (x_S / y_S ) . Der Faktor a spielt die selbe Rolle wie der der Normalform (siehe Gleichung (1). Um aus der Normalform der quadratischen Funktion die Darstellung in der Scheitelpunktsform zu errechnen, benutzt man die quadratische Ergänzung. Um von der Scheitelpunktsform in die Normalform zu kommen, benutzt man die erste oder zweite binomischen Formel. Hier gibt es Übungsaufgaben, bei denen aus der Scheitelpunktsform in die Normalform umgewandelt werden muss.

Abb. 3: Scheitelpunkte von Parabeln

In der Abbildung 3 gibt es zwei Beispiele für Scheitelpunkte, die nicht im Ursprung liegen. In der linken Abbildung ist die Parabel y=-(x+2)^2+3 dargestellt. Die Parabel ist eine nach unten geöffnete Normalparabel (a=-1). Der Scheitelpunkt ist bei S(-2/3). Die Funktion, die hinter der Parabel auf der rechten Seite dieser Abbildung steckt, ist y=(x-2)^2+3. Es ist eine nach oben geöffnete Normalparabel (a=1) mit dem Scheitelpunkt S(2/3).

 Nullstellen

Die Nullstellen einer (quadratischen) Funktion sind die x–Werte, an denen die Funktion den Wert 0 annimmt – graphisch läuft die Parabel an diesen Punkten durch die x–Achse. Eine quadratische Funktion kann keine Nullstelle, eine Nullstelle oder zwei Nullstellen haben. Die Verfahren zur Nullstellenermittlung kann man auch benutzen, um Schnittpunkte der Parabeln mit Geraden oder anderen Parabeln auszurechnen oder um auszurechnen, wann die quadratische Funktion vorgegeben Werte annimmt.

Graphische Verdeutlichung

 Eine Parabel, die ihren Scheitelpunkt auf der x-Achse hat, hat eine Nullstelle – nämlich den Scheitelpunkt. Beispiele hierfür sind in den Abbildungen 1 und 2 oben zu sehen.

Abb. 4: Parabeln mit keiner (links) und zwei (rechts) Nullstellen

Damit eine Parabel nicht durch die x–Achse läuft und damit keine Nullstelle hat, muss

  • entweder ihr Scheitelpunkt oberhalb der x–Achse und sie nach oben geöffnet
  • oder ihr Scheitelpunkt unterhalb der x–Achse und sie nach unten geöffnet sein – wie in Abbildung 4 im linken Bild.

Damit es zwei Nullstellen gibt, muss

  • entweder der Scheitelpunkt der Parabel oberhalb der x –Achse und sie nach unten geöffnet
  • oder der Scheitelpunkt unterhalb der x –Achse und sie nach oben geöffnet sein – wie im rechten Teil der Abbildung 4.

Algebraische Ermittlung

Um die Nullstellen algebraisch zu ermitteln gibt es drei Verfahren – die quadratische Ergänzung, die pq-Formel und den Satz von Vieta.

Quadratische Ergänzung

Wir führen die Berechnungen mit Hilfe des Beispiels 2x^2+4x-4=0 durch. Im Abschnitt quadratische Ergänzung ist gezeigt worden, dass sich diese Gleichung verwandeln lässt in

(2)   \begin{eqnarray*}2(x+1)^2-6&=&0\\⇔(x+1)^2&=&3.\end{eqnarray*}

Nun kann auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen werden, wenn die rechte Seite nicht negativ ist, weil aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann. Gleichzeitig sollte darauf geachtet werden, dass vor der Klammer auf der linken Seite keine – von 1 verschiedene – Zahl steht. Beim Ziehen der Wurzel ist zu beachten, dass es ein positives und ein negatives Ergebnis auf der rechten Seite gibt:

    \begin{eqnarray*}x+1=\sqrt{3}\ &\lor&\ x+1=-\sqrt{3}\\⇔x1=-1+\sqrt{3}\ &\lor&\  x2=-1-\sqrt{3}.\end{eqnarray*}

Es ergeben sich also zwei Nullstellen, wenn der Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung (2) positiv – hier: 3 – ist. Ist diese Zahl gleich Null, gibt es eine Nullstelle und bei einer negativen Zahl – aus der man keine Quadratwurzel ziehen kann – gibt es keine Nullstelle.

Die p-q-Formel

Aus der Quadratischen Ergänzung kann man die pq-Formel ableiten. Bevor man die Formel

    \[x_{1/2=}-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right) ^2-q}\]

anwenden kann, muss die Ausgangsgleichung

(3)   \begin{equation*}x^2+px+q=0 \end{equation*}

zwei Bedingungen erfüllen:

  1. Vor dem x^2 darf keine andere Zahl als 1 stehen. Sollte dies der Fall sein, muss die Gleichung durch diesen Faktor dividiert werden und
  2. auf der rechten Seite der Gleichung 3 muss 0 stehen.

Betrachten wir die Anwendung der pq-Formel bei unserem Beispiel 2x^2+4x-4=0. Auf der rechten Seite der Gleichung steht eine 0, also ist diese Bedingung erfüllt. Der Faktor vor dem x^2 ist aber von 1 verschieden. Daher muss die gesamte Gleichung durch diesen Faktor – hier ist er gleich 2 – dividiert werden. Wir erhalten: x^2+2x-2=0. Einsetzen in die pq-Formel mit p=4 und q=-2 ergibt

    \[x_{1/2}=-1\pm\sqrt{1+2}=-1\pm\sqrt{3}\]

und damit die selbe Lösung wie unter Verwendung der quadratischen Ergänzung. Dies ist nicht verwunderlich, weil die pq-Formel die Ergebnisformel der quadratischen Ergänzung ist.

Hier gibt es Übungen zu diesem Thema.

Footnotes    (↵ returns to text)
  1. Diese beiden Striche rechts und links von dem a nennt man Betragsstriche. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv. So ist |1|=1 und | -1 |=1.
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