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Quadratische Funktionen: Funktionsgleichung konstruieren

In diesem Beitrag geht es darum, aus gegebenen Daten einer quadratischen Funktion die Funktionsgleichung herzuleiten. Dabei können die Daten graphischer Art sein oder aber es sind vorgegeben Punkte. Sehen wir uns zuerst an, wie man aus einer gegeben Parabel die Funktionsgleichung abliest. Dazu nutzt man die Scheitelpunktsform der Parabel y=a(x-d)^2+e, wobei (d|e) der Scheitelpunkt der Parabel ist.Scheitelpunktsform ablesen Zuerst lokalisieren wir den Scheitelpunkt. In diesem Fall liegt er bei (6|6). Setzten wir diese Informationen in die Scheitelpunktsform ein, ergibt sich y=a(x-6)^2+6. Anschließend ermitteln wir a. Dazu gehen wir vom Scheitelpunkt – wie in der Abbildung – eine Einheit nach rechts und dann wieder zurück auf die Parabel. Dieser Weg zurück auf die Parabel gibt genau das a an. Im obigen Fall müssen wir, nachdem wir eine Einheit nach rechts gegangen sind, eine halbe Einheit nach unten gehen. Damit ist a=-\frac{1}{2} und die Funktionsgleichung lautet y=-\frac{1}{2}(x-6)^2+6.

Hier gibt es Übungen zu diesem Thema.

Hat man Punkte der Funktion gegeben, dann kommt es darauf an, ob der Scheitelpunkt darunter ist. Ist er dabei, dann reichen zwei Punkte, sonst benötigen wir drei Punkte.

Schauen wir uns zwei Beispiele an. Gegeben seien der Scheitelpunkt S (6|6). und der Punkt P (9|1,5) – dies sind Punkte aus dem obigen Beispiel. Wir nutzen wiederum zuerst die Scheitelpunktsform und setzen den Scheitelpunkt ein. Wie bei der graphischen Methode erhalten wir in diesem Beispiel y=a(x-6)^2+6. Jetzt nutzen wir den anderen Punkt. Wir wissen, dass der x-Wert dort 9 ist und der y-Wert 1,5. Dies setzen wir in die Scheitelpunktsform ein und lösen anschließend nach a auf:

    \begin{eqnarray*}1,5&=&a(9-6)^2+6|-6\\-4,5&=&9a|:9\\a&=&-\frac{1}{2}\end{eqnarray*}

Schauen wir uns eine Situation an, bei der der Scheitelpunkt nicht explizit vorgegeben ist. Dann benötigen wir drei Punkte. Nehmen wir aus dem obigen Beispiel die Punkte (6|6), (4|4) und (9|1,5). Diese drei Punkte werden in die Normalform der quadratische Gleichung – y=ax^2+bx+c eingesetzt. Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, das zu lösen ist:

    \begin{eqnarray*}I: 16a+4b+c&=&4\\II: 81a+9a+c&=&1,5\\III: 36a+6b+c&=&6\end{eqnarray*}

Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme finden sich hier. Bei diesen Problemen setze ich immer das Additions- bzw. Subtraktionsverfahren ein und eliminiere zuerst die cs, indem ich beispielsweise die Gleichungen III und I und die Gleichungen II und I subtrahiere. Es ergibt sich dann

    \begin{eqnarray*}IV: 20a+2b&=&2\\V: 65a+5b&=&-2,5\end{eqnarray*}

Jetzt können wir die Gleichung IV mit 5 multiplizieren und die Gleichung V mit 2 und sie anschließend subtrahieren, damit wir b eliminieren. Es ergibt sich

    \begin{eqnarray*}30a&=&-15|:30\\a&=&-\frac{1}{2}\end{eqnarray*}

Dieses Ergebnis kann nun beispielsweise in Gleichung IV genutzt werden, um

    \begin{eqnarray*}-10+2b&=&2\\2b&=&12\\b&=&6\end{eqnarray*}

zu erhalten. Mit Kenntnis von a und b kann c beispielsweise in Gleichung I bestimmt werden:

    \begin{eqnarray*}-8+24+c&=&4|-16\\c&=&-12\end{eqnarray*}

Somit ist die Funktionsgleichung y=-\frac{1}{2}x^2+6x-12, was mit der Scheitelpunktsform von oben übereinstimmt. Letzteres kann man zeigen, wenn man die Scheitelpunktsform unter Zuhilfenahme der 2. binomischen Formel ausmultipliziert,

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