Suche

Drucken Drucken

Scheitelpunktsform von quadratischen Funktionen ermitteln

Aus der Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion y=a(x-d)^2+e kann man direkt den Scheitelpunkt (d|e) der Parabel ablesen. Ist die Funktion jedoch in der allgemeinen Form y=ax²+bx+c gegeben, dann muss man den Scheitelpunkt berechnen.

Dazu gibt es drei Methoden:

  • Berechnung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung
  • Berechnung unter Ausnutzung der Symmetrie der Parabel
  • Berechnung mit Hilfe der Differentialrechnung

Bei der quadratischen Ergänzung wird der Anfang einer binomischen Formel vervollständigt. Dabei wird mit der ersten oder zweiten binomischen Formel gearbeitet:

(1)   \begin{equation*}(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\end{equation*}

Nehmen wir als Beispiel die Funktion

(2)   \begin{equation*}y=x^2+6x-12\end{equation*}

Der Beginn dieser Funktion x^2+6x) wird als Beginn einer binomische Formel verstanden, zu der die abschließende Zahl fehlt. Diese Zahl wird mit Hilfe der quadratischen Ergänzung gesucht. Der Vergleich von (1) und (2) führt zu folgenden Gleichsetzungen: a=x und damit 2ab=6x und somit 2b=6  also b=3  und b^2=9. Die gesuchte binomische Formel ist also

    \begin{eqnarray*}y&=&x^2+6x-12\\\Longleftrightarrow y&=&x^2+6x+9-9-12\\\Longleftrightarrow y&=&x^2+6x+9-21\\\Longleftrightarrow y&=&(x+3)^2-21.\end{eqnarray*}

Sobald eine 1 vor dem x^2 steht, kann man die Abfolge bei der quadratischen Ergänzung mit

  1. halbieren,
  2. quadrieren,
  3. addieren,
  4. subtrahieren

beschreiben.

  1. Die Zahl, die vor dem x steht, wird also halbiert \frac{6}{2}=3), da laut binomischer Formel vor dem x noch 2b steht, wir aber nur an b interessiert sind.
  2. Dann wird diese Zahl quadriert, weil wir das letzte Glied der binomische Formel haben wollen – und dies ist b^2. Diese beiden Schritte werden nicht aufgeschrieben, sondern in Gedanken durchgeführt.
  3. Um die Funktion nicht zu verändern, wird b^2(=9) addiert und subtrahiert – damit ist letztendlich 0 addiert worden.
  4. Nun wird der binomische Teil x^2+6x+9) mit Hilfe der binomischen Formel zu (x+3)^2 umgeformt. Dabei ist die Zahl in der Klammer gleich der Hälfte der Zahl, die vor dem x in der Gleichung (1) steht.

Sollte vor dem x^2 eine von 1 verschiedene Zahl stehen, muss diese zuerst ausgeklammert werden.[1] Dies wird im folgenden am Beispiel y=2x^2+4x-4 gezeigt. Dabei wird die quadratische Ergänzung ab Schritt 3 innerhalb der eckigen Klammer durchgeführt. Am Ende muss dann wieder ausmultipliziert werden, d.h. die zu multiplizierende Zahl wird einmal vor die Klammer mit der binomischen Formel geschrieben und die Zahl in der Klammer wird ebenfalls mit der Zahl multipliziert.

    \begin{eqnarray*}y&=&2x^2+4x-4\\\Longleftrightarrow y&=&2\left[x^2+2x-2\right]\\\Longleftrightarrow y&=&2\left[ x^2+2x+1-1-2\right]\\\Longleftrightarrow y&=&2\left[ x^2+2x+1-3\right]\\\Longleftrightarrow y&=&2\left[ (x+1)^2-3\right]\\\Longleftrightarrow y&=&2(x+1) ^2-6.\end{eqnarray*}

Die Berechnung unter Ausnutzung der Symmetrie der Parabel schauen wir uns an Hand eines Beispiels an. Wir suchen den Scheitelpunkt der Funktion y=x^2+6x-8. Dazu streicht man das absolute Glied der Funktion (hier die -8). Dadurch entsteht eine neue Parabel, die gegenüber der ursprünglichen nach oben oder unten in y-Richtung verschoben worden ist. Der Scheitelpunkt dieser neuen Funktion wird ebenfalls nur in y-Richtung nach oben oder unten verschoben; der x-Wert des Scheitelpunktes bleibt unverändert. Im nächsten Schritt bestimmen wir die Nullstellen der neuen Funktion. Anschließend nutzen wir die Symmetrie der Parabel: Der Scheitelpunkt der Parabel liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Mit dem errechneten x-Wert können wir dann mit Hilfe der Originalfunktion den y-Wert des Scheitelpunkts bestimmen. Im konkreten Beispiel wird aus y=x^2+6x-8 durch Streichen des absoluten Glieds die neue Funktion y_1=x²+6x, von der wir nun die Nullstellen suchen:

    \[\begin{aligned}&x^2+6x&=&0\\\Longleftrightarrow&x(x+6)&=&0\\\Longleftrightarrow&x=0&\text{\ v\ }&x+6&=&&0\\\Longleftrightarrow&x=0&\text{\ v\ }&x=-6\end{aligned}\]

Der Scheitelpunkt muss wegen der Symmetrie der Parabel genau zwischen x_1=0 und x_2=-6 liegen, also bei x_S=\frac{0+(-6))}{2}=-3. Den y-Wert des Scheitelpunkts erhalten wir durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion: y=(-3)^2+6*(-3)-8=-17. Der Scheitelpunkt ist also bei (-3|-17).

Da der Scheitelpunkt einer Parabel gleichzeitig ein Extrempunkt ist, kann man ihn auch mit Hilfe der Differentialrechnung finden. Um einen Extrempunkt zu finden, muss man das normale Programm zur Ermittlung von Extremstellen durchlaufen:

  1. Notwendige Bedingung: f'(x)=0
  2. Hinreichende Bedingung: f'(x)=0 und f''(x) \neq 0.
Footnotes    (↵ returns to text)
  1. Beim Ausklammern werden alle Terme des Ausdrucks durch die Zahl geteilt, die ausgeklammert wird.
Drucken Drucken

Schreibe einen Kommentar

Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert