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Projektionen

Projektionen kann man sich so vorstellen, dass eine Lichtquelle über das zu projizierende Objekt gestellt wird; der Schattenwurf ist dann die Projektion.
Betrachten wir das Beispiel einer Geraden, die in die x_1x_2–Ebene projiziert werden soll. Dann kann man sich das wie den Schattenwurf dieser Gerade, der durch eine senkrecht über der Gerade angebrachten Lampe verursacht wird, in diex1x2–Ebene vorstellen. Nehmen wir als Beispiel die Gerade\]g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\2\\-3\end{pmatrix}\]
und projizieren diese in die x_1x_2–Ebene. In dieser Ebene gilt an jeder Stelle x_3=0. Also ist die Gleichung der Projektionsgeraden\]\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}\]
Will man diese Gerade in eine beliebige andere Ebene projizieren, geht man wie folgt vor: Man berechnet zwei beliebige Punkte der Projektionsgeraden, indem folgende Schritte für jeden dieser Punkte ausführt:
  1. Man bildet den Normalenvektor der Ebene.
  2. Mit diesem Normalenvektor und einem Punkt der Geraden definiert man eine Gerade, die senkrecht zur Ebene ist.
  3. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebenen ergibt einen Projektionspunkt der ursprünglichen Geraden.
Durch die beiden so berechneten Punkte legt man die projizierte Gerade. Nehmen wir als Beispiel die obige Geraden und die Ebene
\]\left[ \vec{x}-\begin{pmatrix}1\\5\\2\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=0.\]
Der Normalenvektor dieser Ebene ist (1/1/-1). Zwei Punkte der Gerade sind (1/2/3) und (5/3/0).
Die erste Gerade, die senkrecht zur Ebene steht hat daher die Form
\]g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}.\] Als Schnittpunkt mit der Ebene ergibt sich Punkt A: (\frac{7}{3}/\frac{10}{3}/\frac{5}{3}). Die Berechnung des zweiten Punktes B ergibt (\frac{11}{3}/\frac{5}{3}/\frac{4}{3}). Durch diese beiden Punkte kann man jetzt eine Gerade legen, beispielsweise \]g: \vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{7}{3}\\\frac{10}{3}\\\frac{5}{3}\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\-5\\-1\end{pmatrix}.\]
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