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Potenzgesetze

Ein Ausdruck mit einer Potenz sieht wie folgt aus: a^b. Dabei ist a die Basis und b der Exponent.Es gibt folgende Rechenregeln für Ausdrücke mit Potenzen:

 

  •  Zwei Ausdrücke mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten addiert: x^{3}*x^{5}=x^{8}.
  • Zwei Ausdrücke mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten subtrahiert: x^{5}:x^{3}=x^{2}.
  • Ein Ausdruck mit Exponenten wird exponiert, indem man die Basis beibehält und die Exponenten multipliziert: \left(x^{3}\right)^{2}=x^{3*2}=x^{6}.
  • Zwei Ausdrücke mit unterschiedlichen Basen aber gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man den Exponenten beibehält und die Basen multipliziert: 3^{a}*4^{a}=12^{a}.
  • Zwei Ausdrücke mit unterschiedlichen Basen aber gleichen Exponenten werden dividiert, indem man den Exponenten beibehält und die Basen dividiert: 8^{a}:4^{a}=2^{a}.

 Addition und Subtraktion sind nur möglich, wenn Basis und Exponent gleich sind: x^3+4x^3=5x^3.

Negative Exponenten bedeuten nicht automatisch, dass der Ausdruck negativ ist. Negative Exponenten kommen beispielsweise dadurch zustande, dass eine Basis mit kleinem Exponenten durch eine Basis mit größerem Exponenten dividiert wird. Das ist ein Bruch, bei dem die Basis mit positivem Exponenten im Nenner steht:

    \[x^{3}:x^{5}=x^{-2}\]

  und

    \[\frac{x^{3}}{x^{5}}=\frac{1}{x^{2}}\]

,
 also

    \[x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\]

.
  Wenn der Exponent 0 ist, nimmt der Ausdruck den Wert 1 an, wenn die Basis ungleich Null ist.

Brüche im Exponenten sind Wurzeln. Allgemein gilt

    \[x^{\frac{a}{b}}=\sqrt[b]{x^{a}}.\]

 
Die Zahl im Zähler des Bruches ist der Exponent der Basis und die Zahl im Nenner ist die Zahl, die auf der Wurzel steht. Die Rechengesetze gelten auch für Brüche als Exponenten:

    \[x^{\frac{3}{2}}*x^{\frac{1}{2}}=x^{2}\]

.

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