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Proportionale und umgekehrt-proportionale Zuordnungen

Ein proportionales Verhältnis ist dadurch gekennzeichnet, dass sich eine Größe vervielfacht und sich eine davon abhängige Größe darauf hin ebenfalls mit demselben Faktor vervielfacht.Dies ist beispielsweise bei Käufen zu festen Preisen der Fall. Kostet 1 Liter Benzin 1,50 €, so kosten 5 Liter Benzin das 5-fache, also 7,50 €. Beide Größen verdoppeln, verdreifachen, vervierfachen usw. sich. Weitere Beispiele für proportionale Verhältnisse sind die Prozentrechnung und Maßstäbe. Allen proportionalen Verhältnissen ist gemeinsam, dass sie quotientengleich sind. Dies bedeutet, dass man immer das gleiche Ergebnis erhält, wenn man die beiden Größen dividiert – im Beispiel mit dem Benzin ist dies der Preis für Benzin. Eine proportionale Zuordnung entspricht einer linearen Funktion, bei der der y-Achsenabschnitt Null ist, die also durch den Ursprung läuft.

Typische Fragestellungen bei proportionalen Verhältnissen sind wie folgt: 12 Flaschen Wein kosten 36 €. Wie viel kosten 35 Flaschen des selben Weins? Gelöst wird diese Frage mit Hilfe eines Dreisatzes. Dabei wird ausgerechnet, wie viel eine Flasche Wein kostet, bevor man die Kosten für 35 Flaschen berechnet:

Anzahl
Flaschen
Preis
in €
Quotient
Preis : Anzahl Flaschen
12 36 3
:12 1 3 :12 3
*35 35 105 *35 3

35 Flaschen kosten also 105 €. Beim proportionalen Dreisatz wird auf beiden Seiten die gleiche Rechnung durchgeführt; entweder wird auf beiden Seiten multipliziert oder dividiert.

Ein umgekehrt-proportionales Verhältnis ist dadurch gekennzeichnet, dass sich eine Größe vervielfacht und die andere Größe entsprechend geteilt wird. Beispielsweise kann man mit einer bestimmten Menge Futter 8 Tiere 10 Tage lang ernähren. Sind es nun doppelt so viele Tiere, dann reicht das Futter dafür nur halb so lange. Umgekehrt proportionale Verhältnisse sind produktgleich. Dies bedeutet, dass man immer das gleiche Ergebnis bekommt, wenn man die beiden Größen miteinander multipliziert.

Eine typische Aufgabe ist folgende: Zum Teeren einer Straße benötigen 3 Maschinen 4 Tage. Wie lange benötigen 6 Maschinen? Auch diese Aufgabe wird mit einem Dreisatz gelöst:

Anzahl
Maschinen
Anzahl
Tage
Produkt:
Maschinen * Tage
3 4 12
:3 1 12 *3 12
*6 6 2 :6 12

Es werden zwei Tage benötigt. Anders als bei proportionalen Dreisätzen wird hier auf einer Seite multipliziert und auf der anderen Seite dividiert.

Aufgabe: Ein PKW verbraucht bei einer Fahrt von 200 km 15 Liter Benzin. Wie viel verbraucht er bei einer Fahrt von 500 km?

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Aufgabe: Auf einem Schiff sind 20 Passagiere. Die Nahrung reicht noch für 30 Tage. Wie viele Tage können 15 Passagiere essen?

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Hier gibt es weitere Aufgaben zu Zuordnungen.

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