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Polynomdivision

Die Polynomdivision wird benutzt, um

  • das Finden von Nullstellen einer Funktion zu erleichtern,
  • eine Linearzerlegung eines Polynoms vorzunehmen,
  • schiefe Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen zu finden.

Schauen wir uns die Suche nach Nullstellen am Beispiel der Funktion f⁡(x)=x^3+5x^2+9x+5 an. Es gibt ein absolutes Glied, deshalb kann keine Potenz von xausgeklammert werden. Eine Substitution funktioniert auch nicht, weil die Struktur der Exponenten nicht dem Schema für eine Substitution entspricht.

 

Ziel der Polynomdivision ist es, die Funktion f⁡(x) in Faktoren zu zerlegen, so dass sie als f⁡(x)=(x-a)(x-b)(x-c) geschrieben werden kann. Dabei sind dann a, b und c die Nullstellen der Funktion. Zuerst muss eine Nullstelle durch Probieren gefunden werden. Da sich der Term von f⁡(x) durch Ausmultiplizieren zu

    \[f⁡(x)=x^3-(a+b)x^2-(a+b)cx-abc\]

umformen lässt, sollte man alle (positiven und negativen) Teiler des absoluten Gliedes abc als potentielle Nullstellen auffassen. Bei der gegeben Funktion erhält man f(-1)=0. Um die anderen Nullstellen zu erhalten, wird f⁡(x) nun durch (x+1) dividiert. Dies geschieht wie bei einer schriftlichen Division mit Zahlen.

Die zu dividierende Funktion wird nach absteigenden Exponenten geordnet. Dann wird geschaut, wie oft x in die höchste Potenz der (Rest–)Funktion – hier x^3 – passt. Dies ist hier x^2-mal der Fall, also kommt hinter das Gleichheitszeichen ein x^2. Nun wird – wie bei schriftlicher Division – das Ergebnis mit dem Divisor multipliziert – x^2(x+1)=x^3+x^2 – und von der Funktion abgezogen, so dass sich die Restfunktion zu 4x^2+9x+5 vereinfacht. Danach beginnt der Prozess wieder von vorne. Er endet, wenn nur eine Zahl am Ende der Subtraktion übrig bleibt. In dem Fall, dass eine Zahl ungleich 0 als Rest verbleibt, ist mit Hilfe der Polynomdivision keine Nullstelle mehr zu finden. Sollte die Polynomdivision durchgeführt worden sein, um die waagerechte Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion zu finden, dann ist dies der Teil, der bei einem Streben von x gegen unendliche Werte gegen 0 strebt. Betrachten wir dies an dem Beispiel für die Berechnung einer Asymptote

    \[f(x)=\frac{x^2+4x+2}{x+1}.\]

Die Polynomdivision ergibt

    \[\frac{x^2+4x+2}{x+1}=x+3-\frac{1}{x+1}.\]

Die schiefe Asymptote dieser Funktion ist also x+3.

Das Horner-Schema ist eine weitere Möglichkeit, die anstelle der Polynomdivision genutzt werden kann.

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