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Partielle Integration

Die partielle Integration ist eine Methode eine Stammfunktion zu finden. Sie wird angewendet, wenn die Funktionsgleichung ein Produkt aus zwei Funktionen ist. Im Falle einer Ableitung würde man die Produktregel anwenden.

Die Produktregel lautet: Wenn die Funktion f(x)=u(x)*v(x) abgeleitet wird, so ergibt sich

    \[f'(x)=(uv)'=u'v+v'u.\]

Stellt man diese Formel um, so erhält man

    \[u'v=(uv)'-uv'.\]

Integriert man diesen Ausdruck, so erhält man die Regel für die partielle Integration:

    \begin{eqnarray*}\int u'v\ dx&=&\int (uv)'\ dx-\int uv'\ dx\\&=&uv-\int uv'\ dx.\end{eqnarray*}

In der Formel findet sich auf der rechten Seite erneut ein Integral. Bei der Anwendung sollte also darauf geachtet, werden, dass man eine Stammfunktion zu diesem neuen Integral bestimmen kann. Betrachten wir dazu ein Beispiel.

Wir suchen eine Stammfunktion zu f(x)=xe^x. xe^x entspricht nun u'v in der obigen Formel. Dabei kann u' sowohl x als auch e^x sein. Schauen wir uns an, was daraus folgt, wenn wir die eine oder die andere Wahl treffen.

Setzen wir zuerst u'=x und v=e^x. Daraus folgt u=\frac{1}{2}x^2 und v'=e^x. Berücksichtigen wir dies in der Formel für die partielle Integration, so ergibt sich

    \[\int xe^x\ dx =x^2e^x-\int x^2e^x\ dx.\]

Unser Problem ist dadurch nicht kleiner geworden, da wir nun eine Stammfunktion zu x^2e^x suchen müssen. Versuchen wir es mit dem anderen Ansatz: u'=e^x und v=x. Damit folgt u=e^x und v’=1. Einsetzen ergibt

    \[\int xe^x\ dx=xe^x-\int 1e^x \dx.\]

Eine Stammfunktion zu e^x zu finden ist nicht schwer; diese ist beispielsweise e^x. Berücksichtigen wird dies, so ergibt sich für die Integration von

    xe^x\(:<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="http://lernwerkstatt-selm.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c7ccf44e7f0d482e50b9dd3ef8df404_l3.png" height="95" width="252" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{eqnarray*}\int xe^x\ dx&=&xe^x-\int 1e^x\ dx\\&=&xe^x-e^x\\&=&(x-1)e^x.\end{eqnarray*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>Die kluge Wahl von \(u'

und v kann also dazu führen, dass wir schneller (oder überhaupt) ans Ziel kommen. Bei Kombinationen mit der e–Funktion sollte man die e–Funktion immer zum u' machen. Es kann durchaus sein, dass man die partielle Integration mehrmals hintereinander durchführen muss. Dies ist beispielsweise bei der Funktion f(x)=x^2e^x der Fall. Diese Info ist nur für registrierte Nutzer sichtbar

Aufgabe: Ermitteln Sie eine Stammfunktion zu f(x)=2x\ln(x).

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