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p-q-Formel

Es wird die Lösung der Gleichung

(1)   \begin{equation*}x^2+px+q=0\end{equation*}

gesucht. Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung wird dies umgeformt zu

    \begin{eqnarray*}x^2 +px+\left( \frac{p}{2} \right)^2  &=& \left(\frac{p}{2} \right)^ 2 -q\\ \Longleftrightarrow \left( x+ \frac{p}{ 2}\right )^ 2 &=& \left(\frac{ p}{ 2}\right)^2 -q\end{eqnarray*}

Wurzelziehen unter Beachtung der Tatsache, dass es zwei Lösungen auf der rechten Seite bei positiven Zahlen gibt, führt zur

    \[x+ \frac{p}{ 2} =\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^ 2 -q} .\]

Isolieren von x auf der linken Seite führt zur p–q–Formel:

    \[x_{1/2} =-\frac{p}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{ p}{ 2}\right )^ 2 -q} .\]

Es gibt
  • zwei Lösungen, wenn der Ausdruck unter der Wurzel positiv ist,
  • eine, wenn er 0 ist und
  • keine, wenn er negativ ist.

Voraussetzungen für die Anwendung der p–q–Formel auf die Gleichung (1) sind:

  • Vor dem x^2 steht kein anderer Koeffizient{{1}}[[1]]Der Koeffizient ist die Zahl, vor eine Variablen steht und damit mit dieser Variablen multipliziert wird.[[1]] als 1; ansonsten muss die gesamte Gleichung durch diesen Koeffizienten dividiert werden,
  • auf der rechten Seite der Gleichung muss eine Null stehen; ansonsten muss die Zahl, die dort steht, auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert werden.

Schauen wir uns das Beispiel 2x^2+12x-32=0 an. Zuerst muss die gesamte Gleichung durch 2 dividiert werden, damit vor dem x² eine 1 steht: x^2+6x-16=0. Somit ist jetzt p=6 und q=-16. Einsetzen in die Formel liefert 

    \[x_{1/2} =-\frac{6}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{ 6}{ 2}\right )^ 2 +16} .\]

Ausrechnen ergibt x_1=8 und x_2=-2.

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