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Funktionsscharen: Ortskurven

In dem Beitrag über Funktionsscharen ist die Funktionsschar f_a(x)=x^2-ax untersucht worden. Dabei haben wir herausgefunden, dass diese Funktionsschar Minima bei \left(\frac{a}{2};-\frac{a^2}{4}\(\right) besitzt.

Die Lage dieser Minima in einem x-y- Koordinatensystem kann durch die sogenannte Ortskurve der Minima beschrieben werden. Es gilt

    \[\begin{aligned}I&& x(a)&& = &&& \frac{a}{2}\\II&&y(a)&& = &&&-\frac{a^2}{4}\end{aligned}\]

Die Ortskurve ist eine Funktion y(x) . Damit der Einfluss des Parameters a aus dem System verschwindet, wir der 1. Gleichung nach a umgestellt und dieses Ergebnis in die 2. Gleichung eingesetzt. Aus I folgt a=2x . Dies eingesetzt in II ergibt

    \[\begin{aligned} && y&& = &&& -\frac{1}{4}*(2a)^2\\ && && = &&& -a^2&& \end{aligned}\]

Die folgende Abbildung stellt 7 verschiedene Funktionen dieser Funktionsschar und die Ortskurve der Minima dar. Es sind die Funktionen f_{-3}(x), f_{-2}(x), f_{-1}(x), f_{0}(x), f_{1}(x), f_{2}(x) und f_{3}(x) abgebildet. Dies sind die nach oben geöffneten Parabeln – und zwar mit den Minima von links nach rechts geordnet. Die nach unten geöffnete Parabel ist die Kurve, die durch alle Minima verläuft – die Ortskurve. Diese Ortskurve lässt sich auch für andere markante Punkte der Kurve berechnen, beispielsweise für Wendepunkte -; allerdings nicht bei dieser Funktionen.

Die Ortskurve der Minima der Funktionenschar
Funktionsschar und Ortskurve
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