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Orthogonalität

Wenn zwei Geraden oder Ebenen orthogonal zueinander sind, dann stehen sie senkrecht aufeinander. Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

Zwei Geraden

In der ebenen Geometrie sind zwei Geraden senkrecht zueinander, wenn bezüglich ihrer Steigungen

    \begin{eqnarray*}m_1m_2&=&-1\\\Longleftrightarrow m1=-\frac{1}{m2}\end{eqnarray*}

gilt.[1]

In Raum liegen zwei Geraden dann senkrecht – dies nennt man auch: sie sind orthogonal – zueinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren Null ist und sie einen Schnittpunkt haben. Untersuchen wir, ob zwei Geraden mit den Richtungsvektoren (1/-2/6) und (1/0/3) senkrecht zueinander sein können. Das Skalarprodukt ist 1-18=-17 und damit ungleich Null. Die beiden Richtungsvektoren – und damit auch die beiden Geraden sind nicht senkrecht zueinander.

Zu einer gegebenen Gerade kann man eine senkrechte Gerade dadurch suchen, dass man

  1. einen Richtungsvektor sucht, der mit dem gegebenen Richtungsvektor ein Skalarprodukt von Null ergibt und

  2. einen Punkt der ersten Gerade sucht und ihn zum Stützvektor der neuen Gerade macht.

Betrachten wir ein Beispiel. Gesucht ist eine Gerade, die senkrecht zu

\]g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}7\\7\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-2\\6\end{pmatrix}\]

ist und durch den Stützvektor der Geraden g_1 läuft. Ein Richtungsvektor, der zu dieser Gerade orthogonal ist, muss die Bedingung\]\begin{pmatrix}1\\-2\\6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0\]

erfüllen. Diese Bedingung kann man zu x-2y+6z=0 umformen. Alle Kombinationen aus x, y und z, die diese Bedingung erfüllen, kommen als Richtungsvektoren einer Geraden in Frage, die senkrecht zur ersten Gerade ist. Die Lösung ist also nicht eindeutig, da es in einem Raum unendlich viele Geraden gibt, die zu einer gegebenen Gerade orthogonal sind. Eine Möglichkeit ist der Richtungsvektor (6/0/-1), eine weitere ist (0/3/1).

Zwei Ebenen

Zwei Ebenen stehen senkrecht zueinander, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen, wenn also das Skalarprodukt der Normalenvektoren Null ist. Den Normalenvektor einer Gerade berechnet man am schnellsten mit dem Vektorprodukt.

Wenn zu einer gegebenen Ebene eine senkrechte Ebene gesucht wird, stehen wir vor dem gleichen Problem, wie bei dem Problem, dass eine senkrechte Gerade zu einer gegebenen Gerade gesucht ist: Die Lösung ist nicht eindeutig; es gibt zu einer Ebene nur eine senkrechte Ebene, die durch einen Punkt außerhalb dieser Ebene geht, aber deren Form ist nicht eindeutig, da der Normalenvektor skalierbar ist. Suchen wir als Beispiel eine Ebene, die senkrecht zu

\]E1:-x_1-x_2+x_3-2=0\]

ist und durch den Punkt (1/1/1) geht. Ein Richtungsvektor (x/y/z), der senkrecht zu dieser Ebene ist, muss die Bedingung

    \begin{eqnarray*}&\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=0\\\Longleftrightarrow &-x-y+z&=0\end{eqnarray*}

erfüllen. Ein Vektor, der dies leistet, ist (1/1/2). Eine Normalenform einer zu der gegebenen Ebene senkrechten Ebene ist daher\]E: \left[ \vec{x}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=0\]und in Koordinatenform\]E: x_1+x_2+2x_3=6.\]

Es gibt unendlich viele andere Lösungen.

Eine zu einer Ebene senkrechte Gerade

Eine Gerade ist dann zu einer Ebene orthogonal, wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene linear abhängig sind. Da der Normalenvektor der Ebene bereits senkrecht auf der Ebene steht, sind Geraden, die parallel zu diesem Vektor sind, ebenfalls senkrecht zur Ebene.

Suchen wir die Gerade, die durch den Punkt (1/1/1) geht und senkrecht zur Ebene\]E: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\5\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\1\\5\end{pmatrix}\]

ist. Als erstes bilden wir aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene das Kreuzprodukt, weil dieses dem Normalenvektor der Ebene und damit dem Richtungsvektor der Gerade entspricht. Der Normalenvektor der Ebene ist (1/1/-1). Die Gerade hat daher die Form\]g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}.\]

Footnotes    (↵ returns to text)
  1. Siehe dazu auch Schnittwinkel von Geraden.
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