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Normalenvektor

Der Normalenvektor ist der Vektor, der orthogonal zu einem oder mehreren anderen Vektoren ist. In der ebenen Geometrie gibt es zu einem Vektor nur einen senkrechten anderen Vektor; in der räumlichen Geometrie gibt es zu einem Vektor unendlich viele senkrechte Vektoren. Dafür gibt es die Möglichkeit in der räumlichen Geometrie den Normalenvektor zu zwei anderen – linear unabhängigen – Vektoren zu berechnen. Dies geschieht am einfachsten mit dem Vektorprodukt.

Eine weitere Methode, den senkrechten Vektor zu zwei anderen Vektoren zu bestimmen, ist die Nutzung der Tatsache, dass das Skalarprodukt zweier senkrechter Vektoren Null ist. Schauen wir uns als Beispiel die Berechnung des Normalenvektors zu den beiden Vektoren\]\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}\text{ und }\begin{pmatrix}4\\1\\6\end{pmatrix}\]an. Die beiden Gleichungen, die sich auf Grund der Orthonogalität ergeben sind:\]\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}\vec{n} &\text{ und }&\begin{pmatrix}4\\1\\6\end{pmatrix}\vec{n}=0.\]Diese Gleichungen lassen sich auch als

    \begin{eqnarray*}2n_1+3n_2+n_3&=&0\\4n_1+n_2+6n_3&=&0\end{eqnarray*}

schreiben. Diese beiden Gleichungen werden nun so addiert, dass eine der Variablen entfällt. Man könnte beispielsweise das Doppelte der ersten Gleichung von der zweiten subtrahieren, um n_1 zu  beseitigen. Es ergibt sich \]5n_2+11n_3=0.\] Setzen wir nun beispielsweise n_3=5s{{1}}[[1]]Diese Wahl geschieht, um eine ganzzahlige Lösung zu erhalten.[[1]], dann ergibt sich n_2=11s und nach Einsetzen in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen n_1=-19s. Die Menge aller Vektoren, die zu den beiden gegebenen Vektoren senkrecht sind, hat also die Form\]\vec{n}=\begin{pmatrix}-19s\\11s\\5s\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-19\\11\\5\end{pmatrix}.\]Diese Vektoren unterscheiden sich nicht in ihrer Richtung, nur in ihrer Länge.

Wenn man eine Gerade konstruieren will, die senkrecht zu einer Ebene ist, dann kann man als Richtungsvektor der Geraden den Normalenvektor der Ebene nehmen. Analog geht man vor, wenn man eine senkrechte Ebene zu einer Geraden ermitteln will.

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