Suche

Drucken Drucken

Multiplikation von Matrizen

Matrizen können miteinander multipliziert werden. Dabei muss die Anzahl der Spalten der ersten Matrix mit der Anzahl Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmen. Ansonsten kann man die Multiplikation nicht durchführen. Schauen wir uns ein Beispiel an. Seien

    \[M_1=\begin{pmatrix}1&6\\2&5\\3&4\end{pmatrix}\text{ und } M_2=\begin{pmatrix}4&9\\5&8\\6&7\end{pmatrix}.\]

Das Produkt der beiden Matrizen M_1 und M_2 gibt es aufgrund dieser Regel nicht. Ebenso kann man M_2 nicht mit der transponierten Matrix M_1^T multiplizieren, wohl aber M_1^T mit M_2. Das Ergebnis dieser Multiplikation ist ebenfalls eine Matrix; sie hat so viele Zeilen wie die erste Matrix und so viele Spalten wie die zweite. Die Multiplikation zweier Matrizen führt man am besten nach folgendem Schema durch:

 
\begin{pmatrix}4&9\\5&8\\6&7\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}

Dabei berechnet man die vier Elemente der Ergebnismatrix wie folgt:

    \begin{eqnarray*}c_{11}&=&1*4+2*5+3*6=32\\c_{12}&=&1*9+2*8+3*7=46\\c_{21}&=&4*4+5*5+6*6=77\\c_{22}&=&4*9+5*8+6*7=118\end{eqnarray*}

Um ein Element zu berechnen, wird der entsprechende Zeilenvektor mit dem Spaltenvektor multipliziert. Bei der Multiplikation von Matrizen gilt in der Regel nicht das Vertauschungsgesetz. Wenn A und\) B\) zwei Matrizen sind, dann gilt meist AB\neq BA. Multipliziert man eine Matrix mit sich selbst – dies geht wegen der Beschränkung, dass die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der zweiten Matrix sein muss nur bei quadratischen Matrizen – so wird das Ergebnis mit M^2 bezeichnet. Es ist möglich, höhere Potenzen von Matrizen zu berechnen. Die Multiplikation von M^2 mit M ergibt dabei M^3 und die Multiplikation von M^2 mit M^3 ergibt M^5.

Auf die gleiche Art wird eine Matrix mit einem Vektor multipliziert. Man kann einen Vektor als Spezialfall einer Matrix mit nur einer Spalte begreifen.

Drucken Drucken

Schreibe einen Kommentar