Drucken
Multiplikation von Matrizen
Veröffentlicht am 28. Mai 2012 | Von Michael Dröttboom | Leave a response
Matrizen können miteinander multipliziert werden. Dabei muss die Anzahl der Spalten der ersten Matrix mit der Anzahl Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmen. Ansonsten kann man die Multiplikation nicht durchführen. Schauen wir uns ein Beispiel an. Seien
![\[M_1=\begin{pmatrix}1&6\\2&5\\3&4\end{pmatrix}\text{ und } M_2=\begin{pmatrix}4&9\\5&8\\6&7\end{pmatrix}.\]](http://lernwerkstatt-selm.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-763cad54a2f58e2a6f1309a42e8643a6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das Produkt der beiden Matrizen 
und 
gibt es aufgrund dieser Regel nicht. Ebenso kann man nicht mit der transponierten Matrix 
multiplizieren, wohl aber mit . Das Ergebnis dieser Multiplikation ist ebenfalls eine Matrix; sie hat so viele Zeilen wie die erste Matrix und so viele Spalten wie die zweite. Die Multiplikation zweier Matrizen führt man am besten nach folgendem Schema durch:
 |
|
 |
 |
Dabei berechnet man die vier Elemente der Ergebnismatrix wie folgt:
Um ein Element zu berechnen, wird der entsprechende Zeilenvektor mit dem Spaltenvektor multipliziert. Bei der Multiplikation von Matrizen gilt in der Regel nicht das Vertauschungsgesetz. Wenn 
und\) B\) zwei Matrizen sind, dann gilt meist 
. Multipliziert man eine Matrix mit sich selbst – dies geht wegen der Beschränkung, dass die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der zweiten Matrix sein muss nur bei quadratischen Matrizen – so wird das Ergebnis mit 
bezeichnet. Es ist möglich, höhere Potenzen von Matrizen zu berechnen. Die Multiplikation von mit 
ergibt dabei 
und die Multiplikation von mit ergibt 
.
Auf die gleiche Art wird eine Matrix mit einem Vektor multipliziert. Man kann einen Vektor als Spezialfall einer Matrix mit nur einer Spalte begreifen.
Posted in Mathematik, Matrizen
Drucken