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Monotonie

Die Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten der Funktion. Das Steigungsverhalten der Funktion wiederum wird durch die erste Ableitung beschrieben. Ist die erste Ableitung in einem Bereich positiv, dann ist die Funktion in diesem Bereich streng monoton steigen.{{1}}[[1]]Sie ist streng monoton steigend, wenn die Ableitung größer 0 ist. Ist die Ableitung an einer Stelle in diesem Bereich gleich Null ist die Funktion lediglich monoton steigen.[[1]]Entsprechendes gilt dafür, dass die erste Ableitung negativ ist; dann ist die Funktion streng monoton fallend. Der gesamt Definitionsbereich der Funktion von x=-\infty bis x=\infty wird durch die Maxima und Minima in Monotoniebereiche mit unterschiedlichem Verhalten aufgeteilt. Wenn beispielsweise Extrempunkte bei -3, 0 und 3 vorliegen, dann ergeben sich die Intervalle \left]-\infty;-3\right[, \left]-3;0\right[ , \left]0;3\right[ und \left]3;∞\right[. Um zu sehen, ob die Kurve in einem Bereich steigt oder fällt, setzt man einfach einen Werte des Bereichs in die erste Ableitung ein. In diesem Beispiel könnten dies beispielsweise f'(-4), f'(-2), f'⁡(1) und f'⁡(5) sein. Ist die Ableitung in einem Bereich positiv, dann ist die Funktion streng monoton steigend; ist sie negativ, dann ist sie streng monoton fallend.
Zur Kontrolle: Links von einem Maximum und rechts von einem Minimum muss eine Kurve steigen. Rechts von einem Maximum und links von einem Minimum muss sie fallen. Bei einem Extrempunkt muss sich das Steigungsverhalten ändern.
Eine noch oben geöffnete Parabel ist bis zu ihrem Scheitelpunkt streng monoton fallend, anschließend ist sie streng monoton steigend. Eine nach unten geöffnete Parabel ist bis zu ihrem Scheitelpunkt monoton steigend und anschließend streng monoton fallend. Die Funktion f⁡(x)=x^3 ist monoton steigend über den gesamten Verlauf; sie ist streng monoton steigend, wenn man die Stelle 0 ausnimmt.

Im Falle einer Defintionslücke wird der Monotoniebereich in zwei Teile geteilt.

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