Hier wird nur der Fall dargestellt, dass die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Variablen gleich ist.

In den ersten Abschnitten werden Lösungsverfahren für zwei Gleichungen und zwei Variablen vorgestellt, bevor die Anzahl der Gleichungen und der Variablen erhöht wird.

 Es gibt mehrere Verfahren, wie ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gelöst werden kann. An dieser Stelle sollen vier Verfahren vorgestellt werden. Diese vier Verfahren führen alle zum selben Ergebnis, wenn sie richtig angewendet werden. Im Zweifelsfall wird das System gewählt, das in der Situation mit weniger Aufwand anzuwenden ist. Wir wollen diese vier Verfahren mit Hilfe von Beispielen betrachten.

(1)  

(2)  

Das Gleichsetzungsverfahren lohnt sich vor allem dann, wenn in beiden Gleichungen zwei Terme, die Variablen enthalten, gleich sind. Diese beiden Terme werden jeweils auf einer Seite der Gleichung geholt und die beiden anderen Seiten werden gleich gesetzt: Das Gleichungssystem (1) – (2) wird zu

(3)  

(4)  

umgeformt und anschließend die rechten Seiten  der beiden Gleichungen gleich gesetzt. Dies kann man tun, da die beiden anderen Seiten gleich sind:

Die Lösung dieser Gleichung ist . Wird dies in (1) oder (2) eingesetzt, so ergibt sich und ist die Lösung des Gleichungssystems.

 Das Einsetzungsverfahren lohnt sich, wenn bereits eine Variable auf einer Seite einer Gleichung steht. Hier würde es sich beispielsweise anbieten, das System aus (1) und (4) zu betrachten und dann in der Gleichung (1) die durch zu ersetzen. Aus und wird dann und damit wieder .

 Dieses Verfahren kann benutzt werden, wenn in einer Gleichung ein Term mit Variable positiv und in der anderen Gleichung der gleiche Term negativ ist. Aus dem gegebenen Beispiel kann z.B. Gleichung (2) mit der Zahl 3 multipliziert werden, um diese Konstellation zu erreichen:

Werden diese beiden Gleichungen addiert, so ergibt sich und damit erneut .

 Das Subtraktionsverfahren ähnelt dem Additionsverfahren sehr stark. Allerdings werden die beiden Gleichungen nicht addiert, sondern subtrahiert. Dann muss in beiden Gleichungen ein Term mit Variable gleich sein. Wird beispielsweise Gleichung (1) von Gleichung (2) subtrahiert, so ergibt sich aus

durch Subtraktion und damit wieder .

 Bei der Lösung von Gleichungssystem kann es zu zwei Spezialfällen kommen. Betrachten wir dazu zwei Beispiele:

Es gibt keine zwei Zahlen, die addiert gleichzeitig 3 und 4 ergeben. Dies kann man auch der Lösung des Gleichungssystems ansehen. Werden die beiden Gleichungen subtrahiert, ergibt sich und damit eine falsche Aussage. In diesem Fall gibt es keine Lösung für das Gleichungssystem. Grafisch betrachtet sind die beiden Geraden parallel zueinander. Das zweite Beispiel

beinhaltet zwei Gleichungen, die zu identische Lösungen führen. Hier führt eine Subtraktion der Gleichungen zu einem Ergebnis (0=0), das immer gültig ist. Es gibt somit unendlich viele Lösungen. In diesem Fall ist die Lösungsmenge .

 Solange die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Variablen übereinstimmt, wird im Prinzip so vorgegangen wie im vorigen Kapitel. Es werden mehrere Stufen durchlaufen, bei der jeweils eine Variable und eine Gleichung aus dem Verfahren entfernt werden. Ein Beispiel mit drei Variablen und drei Gleichungen:

Am Anfang muss entschieden werden, welche der drei Variablen zuerst aus dem System entfernt werden soll. Ich entscheide mich hier für , da der Rechenaufwand am geringsten erscheint. Wenn eliminiert werden soll, kann ich (5) von (6) subtrahieren und den doppelten negativen Wert von (6) zu (7) addieren^[1]. Es ergibt sich

Addieren dieser beiden Gleichungen führt zu und damit . Weiteres Einsetzen von in (9) ergibt . Einsetzen dieser beiden Ergebnisse in eine der drei Gleichungen (5) bis (7) ergibt . Die Lösung für dieses Gleichungssystem ist also . Bei Gleichungssystemen mit mehr Variablen und genau so vielen Gleichungen ändert sich das Verfahren prinzipiell nicht; es werden nur mehr Stufen zu Berechnung benötigt.

Die vier Verfahren und das Gauß-Verfahren führen zu identischen Lösungen, wenn richtig gerechnet wird. Daher ist es prinzipiell egal, welches Verfahren angewendet wird. Man sollte sich daher ein Verfahren aussuchen, mit dem gut zurecht kommt und dieses möglichst oft anwenden. Für kompliziertere Gleichungssysteme eignen sich – aus meiner Sicht – Additions– und Subtraktionsverfahren am meisten.

1. Ich rechne also (2) – (1) und (3) – 2*(2).↵