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Lineare Gleichungssysteme

Es wird die Lösung von linearen Gleichungssysteme mit mehreren Variablen und mehreren Gleichungen dargestellt. Es handelt sich um lineare Gleichungssysteme, da die vorliegenden Gleichungen alle aus linearen Abhängigkeiten bestehen – es gibt keine Quadrate, Exponenten oder ähnliches. Dieses Lösungsverfahren wird beispielsweise benutzt, um aus gegebenen Punkten eine Funktionsvorschrift zu berechnen.

Hier wird nur der Fall dargestellt, dass die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Variablen gleich ist.

In den ersten Abschnitten werden Lösungsverfahren für zwei Gleichungen und zwei Variablen vorgestellt, bevor die Anzahl der Gleichungen und der Variablen erhöht wird.

Die Gleichungen dürfen mit Äquivalenzumformungen manipuliert werden – sie können multipliziert und dividiert werden; es können Zahlen addiert und subtrahiert werden. Dies alles verändert die Lösung des Gleichungssystems nicht – wenn richtig gerechnet wird.

Zwei Gleichungen, zwei Variablen

 Es gibt mehrere Verfahren, wie ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gelöst werden kann. An dieser Stelle sollen vier Verfahren vorgestellt werden. Diese vier Verfahren führen alle zum selben Ergebnis, wenn sie richtig angewendet werden. Im Zweifelsfall wird das System gewählt, das in der Situation mit weniger Aufwand anzuwenden ist. Wir wollen diese vier Verfahren mit Hilfe von Beispielen betrachten.

(1)   \begin{eqnarray*}2x+3y&=&12\end{eqnarray*}

(2)   \begin{eqnarray*}2x-y&=&4.\end{eqnarray*}

Gleichsetzungverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren lohnt sich vor allem dann, wenn in beiden Gleichungen zwei Terme, die Variablen enthalten, gleich sind. Diese beiden Terme werden jeweils auf einer Seite der Gleichung geholt und die beiden anderen Seiten werden gleich gesetzt: Das Gleichungssystem (1) – (2) wird zu

(3)   \begin{eqnarray*}2x&=&12-3y\end{eqnarray*}

(4)   \begin{eqnarray*}2x&=&4+y\end{eqnarray*}

umgeformt und anschließend die rechten Seiten  der beiden Gleichungen gleich gesetzt. Dies kann man tun, da die beiden anderen Seiten gleich sind:

    \[4+y=12-3y\]

Die Lösung dieser Gleichung ist y=2. Wird dies in (1) oder (2) eingesetzt, so ergibt sich x=3 und (3;4) ist die Lösung des Gleichungssystems.

Einsetzungsverfahren

 Das Einsetzungsverfahren lohnt sich, wenn bereits eine Variable auf einer Seite einer Gleichung steht. Hier würde es sich beispielsweise anbieten, das System aus (1) und (4) zu betrachten und dann in der Gleichung (1) die 2x durch 4+y zu ersetzen. Aus 2x+3=12 und 2x=4+y wird dann 4+y+3=12 und damit wieder y=3.

Additionsverfahren

 Dieses Verfahren kann benutzt werden, wenn in einer Gleichung ein Term mit Variable positiv und in der anderen Gleichung der gleiche Term negativ ist. Aus dem gegebenen Beispiel kann z.B. Gleichung (2) mit der Zahl 3 multipliziert werden, um diese Konstellation zu erreichen:

    \begin{eqnarray*}2x+3y&=&12\\6x-3y&=&12\end{eqnarray*}

Werden diese beiden Gleichungen addiert, so ergibt sich 8x=24 und damit erneut x=3.

Subtraktionsverfahren

 Das Subtraktionsverfahren ähnelt dem Additionsverfahren sehr stark. Allerdings werden die beiden Gleichungen nicht addiert, sondern subtrahiert. Dann muss in beiden Gleichungen ein Term mit Variable gleich sein. Wird beispielsweise Gleichung (1) von Gleichung (2) subtrahiert, so ergibt sich aus

    \begin{eqnarray*}2x+3y&=&12\\2x-y&=&4\end{eqnarray*}

durch Subtraktion 4y=16 und damit wieder y=4.

Besondere Ergebnisse

 Bei der Lösung von Gleichungssystem kann es zu zwei Spezialfällen kommen. Betrachten wir dazu zwei Beispiele:

    \begin{eqnarray*}x+y&=&3\\x+y&=&4\end{eqnarray*}

Es gibt keine zwei Zahlen, die addiert gleichzeitig 3 und 4 ergeben. Dies kann man auch der Lösung des Gleichungssystems ansehen. Werden die beiden Gleichungen subtrahiert, ergibt sich 0=-1 und damit eine falsche Aussage. In diesem Fall gibt es keine Lösung für das Gleichungssystem. Grafisch betrachtet sind die beiden Geraden parallel zueinander. Das zweite Beispiel

    \begin{eqnarray*}x+y&=&3\\x+y&=&3\end{eqnarray*}

beinhaltet zwei Gleichungen, die zu identische Lösungen führen. Hier führt eine Subtraktion der Gleichungen zu einem Ergebnis (0=0), das immer gültig ist. Es gibt somit unendlich viele Lösungen. In diesem Fall ist die Lösungsmenge \{x\in\mathbb{R};y=x-3\}.

Mehrere Gleichungen und mehrere Variablen

 Solange die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Variablen übereinstimmt, wird im Prinzip so vorgegangen wie im vorigen Kapitel. Es werden mehrere Stufen durchlaufen, bei der jeweils eine Variable und eine Gleichung aus dem Verfahren entfernt werden. Ein Beispiel mit drei Variablen und drei Gleichungen:

    \begin{eqnarray*}2x-y+z&=&9 (5) \\x+2y+z&=&8 (6)\\ 5x-3y+2z&=&17 (7)\end{eqnarray*}

Am Anfang muss entschieden werden, welche der drei Variablen zuerst aus dem System entfernt werden soll. Ich entscheide mich hier für z, da der Rechenaufwand am geringsten erscheint. Wenn z eliminiert werden soll, kann ich (5) von (6) subtrahieren und den doppelten negativen Wert von (6) zu (7) addieren[1]. Es ergibt sich

    \begin{eqnarray*}-x+3y&=&-1 (8)\\x-y&=&-1 (9)\end{eqnarray*}

Addieren dieser beiden Gleichungen führt zu 2y=-2 und damit y=-1. Weiteres Einsetzen von y in (9) ergibt x=-2. Einsetzen dieser beiden Ergebnisse in eine der drei Gleichungen (5) bis (7) ergibt z=12. Die Lösung für dieses Gleichungssystem ist also (-2;-1;12). Bei Gleichungssystemen mit mehr Variablen und genau so vielen Gleichungen ändert sich das Verfahren prinzipiell nicht; es werden nur mehr Stufen zu Berechnung benötigt.

Zusammenfassung

Die vier Verfahren und das Gauß-Verfahren führen zu identischen Lösungen, wenn richtig gerechnet wird. Daher ist es prinzipiell egal, welches Verfahren angewendet wird. Man sollte sich daher ein Verfahren aussuchen, mit dem gut zurecht kommt und dieses möglichst oft anwenden. Für kompliziertere Gleichungssysteme eignen sich – aus meiner Sicht – Additions– und Subtraktionsverfahren am meisten.

Ziel aller vorgestellten Verfahren ist es, eine nacheinander verschiedene Variablen aus dem Gleichungssystem zu entfernen, so dass am Ende des Verfahrens eine Gleichung mit einer Variablen übrig bleibt. Diese eine Variable kann dann berechnet werden. Durch Einsetzen in eine der ursprünglichen Gleichungen können dann die anderen Variablen ausgerechnet werden.

Footnotes    (↵ returns to text)
  1. Ich rechne also (2) – (1) und (3) – 2*(2).
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