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Lineare Abhängigkeit

Zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} sind linear voneinander oder kollinear, wenn \vec{a} =t\vec{b} gilt. Dabei wird jedes Element des einen Vektors mit der gleichen Zahl multipliziert, um den anderen Vektor zu erhalten. Die Vektoren (1/3/6) und (2/6/12) sind linear voneinander abhängig, weil jedes Element des zweiten Vektors genau doppelt so groß ist wie das entsprechende Element des ersten Vektor. Drei Vektoren sind linear abhängig oder komplanar, wenn sie eine Linearkombination bilden. Sie tun dies, wenn es drei Zahlen c_1, c_2 ,c_3  gibt, von denen mindestens eine ungleich Null ist, die die Gleichung

    \[c_1\vec{a_1} + c_2\vec{a_2} + c_3\vec{a_3} = \vec{0}\]

erfüllen. Um die lineare Unabhängigkeit zu prüfen, wird einfach versucht, den einen der Vektoren durch die beiden anderen auszudrücken. Gelingt dies, so sind die Vektoren linear abhängig, gelingt dies nicht, so sind sie linear abhängig. Sehen wir uns ein Beispiele an. Es ist zu prüfen, ob die Vektoren (2/5/7), (3/2/1) und (-5/4/11) linear abhängig sind. Wir stellen das Gleichungssystem

    \begin{eqnarray*}2 &=& 3a-5b\\ 5 &=& 2a+4b \\7 &=& 1a+11b\end{eqnarray*}

auf und prüfen, ob es eine Lösung für dieses System gibt. In diesem Fall ergibt sich a=\frac{3}{2} und b=\frac{1}{2} , so dass das Gleichungssystem eine Lösung hat und die Vektoren linear abhängig sind. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, sind die Vektoren linear unabhängig.

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