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Lineare Funktionen und Geraden

Eine Funktion ist dann linear, wenn sie der allgemeinen Form y=mx+b  entspricht. Die Variable x hat also einen – nicht ausgeschriebenen – Exponenten von 1. Sobald der Exponent von 1 verschieden ist, handelt es sich nicht mehr um eine lineare Funktion, sondern z. B. um eine quadratische (Exponent 2) oder kubische (Exponent 3). Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, wie in Abbildung 1. In diesem Beispiel handelt es sich um y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{2} .

Der Graph einer linearen Funktion
Abb 1. Der Graph einer linearen Funktion

Graph und Funktion sind durch zwei Parameter gekennzeichnet:

  1.  die Steigung m und
  2.  den y-Achsenabschnitt b.

Der y-Achsenabschnitt b ist der Wert, den die Funktion annimmt, wenn der x-Wert 0 ist. Graphisch ist dies der Punkt, an dem die Gerade durch die y-Achse geht. In dem Beispiel der Abbildung 1 gilt b=\frac{1}{2}.

Die Steigung m gibt – graphisch – an, wie steil oder flach die Kurve ist und ob sie von links unten nach rechts oben m ist positiv) oder von links oben nach rechts unten m ist negativ) verläuft. In dem Beispiel der Abbildung 1 ist die Steigung m=\frac{3}{4}. Rechnerisch bedeutet dies, dass sich y um \frac{3}{4} erhöht, wenn sich x um 1 erhöht. Die Erhöhung ist dabei unabhängig vom x-Wert – dies ist ein Kennzeichen von linearen Funktionen. Die folgende Wertetabelle verdeutlicht diesen Zusammenhang allgemein und für ein Beispiel:

x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
b-4m
b-3m
b-2m
b-m
b
b+m
b+2m
b+3m
b+4m
y=34x+12
-212
-134
-1
-14
12
114
2
234
312

Die Geradengleichung  und der Graph können aus verschiedenen Angaben hergeleitet werden.

Punkt-Steigungs-Form

Bei der Punkt-Steigungs-Form sind ein Punkt und die Steigung der Geraden gegeben. In unserem Beispiel haben wir den Punkt P (3/2) und die Steigung m=4.

Graphische Lösung

 

Abb. 2: Punkt und Steigungsdreieck
Abb. 2: Punkt und Steigungsdreieck

 

In das Koordinatensystem – siehe Abbildung 2 – wird zuerst der Punkt P (3/2) eingezeichnet. Dann wird von diesem Punkt aus ein Steigungsdreieck konstruiert. Ein Beispiel für ein Steigungsdreieck ist bereits in Abbildung 1 zu sehen. Dort setzt das Steigungsdreieck am Punkt (0/b) an und hat die Seitenlängen 1 in x-Richtung und m in y-Richtung. Das Steigungsdreieck wird so konstruiert, dass man die Steigung als Bruch begreift – in unserem Beispiel also \frac{4}{1}. Den Wert unter dem Bruchstrich geht man von dem gegebenen Punkt aus nach rechts und den Wert auf dem Bruch geht man anschließend von diesem neuen Punkt nach oben (bei positiver Steigung) oder nach unten (bei negativer Steigung). In der Abbildung 2 ist diese Situation für unser Beispiel mit P\,(3/2) und der Steigung m=4 skizziert.

Rechnerische Lösung

Um die Geradengleichung zu erhalten, setzen wir die Informationen, die wir haben, in die Gleichung y=mx+b ein. Von den vier Unbekannten m, b, x und y kennen wir durch den Punkt P (2/3) einen x– und einen dazugehörigen y-Wert der Funktion. Zudem ist m=4 gegeben. Einsetzen ergibt 2=4*3+b.  Umformen ergibt b=-10. Somit lautet die gesuchte Geradengleichung y=4x-10.

Zwei-Punkte-Form

Bei der Zwei-Punkte-Form sind zwei Punkte der Funktion gegeben, z. B. die Punkte P (1/2) und Q (5/6).

Graphische Lösung

Die graphische Lösung ist hier recht einfach: Beide Punkte werden in das Koordinatensystem eingezeichnet und anschließend die Gerade durch diese beiden Punkte gezeichnet.

Rechnerische Lösung

Bei der rechnerischen Bestimmung wird zuerst die Steigung m bestimmt. Wir haben bei der graphischen Lösung im vorherigen Abschnitt schon festgestellt, dass der Wert unter dem Bruchstrich die Bewegung in x-Richtung – nach rechts – und der Wert auf dem Bruch die Bewegung in y-Richtung – nach oben oder unten – angibt. Dementsprechend kann m berechnet werden:

    \[m=\frac{y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}=\frac{y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}.\]

Dabei sind x_{P}, y_{P} , x_{Q} und y_{Q} die Koordinaten der beiden Punkte. Es spielt dabei keine Rolle, welcher Punkt P und welcher Q ist. Wichtig ist, dass sowohl im Nenner als auch im Zähler des Bruches die Koordinate des selben Punktes subtrahiert wird. In unserem Beispiel:  m=\frac{2-6}{1-5}=\frac{-4}{-4}=1.

Genau so gut hätte man auch m=\frac{6-2}{5-1}=\frac{4}{4}=1 rechnen können; die Steigung ist identisch. Aus der Aufgabe haben wir jetzt die Steigung errechnet und es sind zwei Punkte gegeben. Damit wird durch Einsetzen eines der beiden Punkte der y-Achsenabschnitt b bestimmt. In diesem Fall setzen wird den Punkt Q ein:[1] 6=1*5+b. Umformen ergibt b=1 und damit y=x+1.

Footnotes    (↵ returns to text)
  1. Die Wahl des Punktes ist rein willkürlich. Wir könnten genau so gut P nehmen.
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