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Lagebeziehungen

In diesem Kapitel wird untersucht, wie einzelne Objekte der analytischen Geometrie im Raum (Punkte, Geraden, Ebenen) zueinander liegen. Dies umfasst die Betrachtung der Lage eines Punktes zu einer Geraden und zu einer Ebenen, der Lage zweier Geraden zueinander, der Lage zweier Ebenen zueinander und die Lage einer Geraden und einer Ebenen zueinander.

Hilfreich in diesem Abschnitt ist die Kenntnis, wie lineare Gleichungssysteme gelöst werden.

Die Lage eines Punktes zu einer Geraden

Ein Punkt kann auf einer Geraden liegen oder er liegt nicht auf ihr. Um die Lage des Punktes zu bestimmen, wird der Punkt mit der Gleichung der Geraden gleichgesetzt und geprüft, ob es eine Lösung für das sich ergebende Gleichungssystem gibt. Beispiel: Es soll geprüft werden, ob der Punkt (3/2/2) auf der Geraden

    \begin{eqnarray*}g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right)\end{eqnarray*}

liegt. Aus dem Gleichsetzen ergibt sich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Variablen:

    \begin{eqnarray*}1+s&=3&\Longrightarrow s=2\\2+s&=2&\Longrightarrow s=0\;\mathrm{und}\\1+s&=2&\Longrightarrow s=1.\end{eqnarray*}

Da sich nicht allen drei Gleichungen der gleiche Wert für s ergeben hat, liegt der Punkt nicht auf der Geraden. Anders sieht dies beim Punkt (2/3/2) aus, bei dem sich in allen drei Gleichungen s=1 ergibt.

Die Lage eines Punktes zu einer Ebenen

Will man prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, kommt es darauf an, in welcher Form die Ebenengleichung vorliegt.

Ebene in der Parameterform

Liegt die Ebene in der Parameterform vor, so setzen wir die Ebene gleich dem Punkt und lösen das entstehende Gleichungssystem. Wir wollen prüfen, ob der Punkt (1/1/1) in der Ebene

    \[E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 5\\ 2 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 1\\ 3\\ 4 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 4\\ 1\\ 5 \end{array}\right)\]

liegt. In dem sich ergebenden Gleichungssystem

    \begin{eqnarray*}1&=&1+s+4t\\1&=&5+3s+t\\1&=&2+4s+5t\end{eqnarray*}

werden s undt) aus zwei der Gleichungen bestimmt. In diesem Beispiel subtrahieren wir das dreifache der ersten Gleichung von der zweiten, berechnen t=\frac{4}{11} und s=-\frac{16}{11}. Nun wird geprüft, ob die bisher noch nicht verwendete dritte Gleichung für diese beiden Werte von s und t erfüllt ist. Wir berechnen

    \[2-\frac{64}{11}+\frac{20}{11}\neq1\]

.

Der Punkt liegt somit nicht in der Ebene. Hingegen liegt der Punkt (1/1/-2) in der Ebene.

Ebene in der Normalenform

Die obige Ebene sieht in der Normalenform beispielsweise so aus:

    \[\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}1\\5\\2\end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right)=0.\]

Diese Gleichung beschreibt alle Punkte \vec{x}, die in der Ebene liegen. Setzt man den Punkt (1/1/1) ein, so erhält man

    \[\left[\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 1\\ 5\\ 2 \end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ -4\\ 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ -1 \end{array}\right)=-5\neq0.\]

Der Punkt liegt nicht in der Ebene. Eine Prüfung des Punktes (1/1/-2) ergibt, dass er in der Ebene liegt.

Ebene in der Koordinatenform

Die obige Ebene hat in der Koordinatenform beispielsweise die Form x_1+x_2-x_3-4=0.

Einsetzen des Punktes (1/1/1) ergibt 1+1-1-4=-3≠0, so dass der Punkt – anders als der Punkt (1/1/-2): 1+1+2-4=0 – nicht in der Ebene liegt.

Die Lage zweier Geraden

In der zweidimensionalen Geometrie – also in der Fläche – können zwei Gerade identisch oder parallel sein oder sie schneiden sich. Im Raum – also der dreidimensionalen Geometrie – können Geraden auch noch windschief sein. Dies bedeutet, dass sie weder identisch noch parallel sind und auch keinen Schnittpunkt haben.

Um die gegenseitige Lage zweier Geraden zu untersuchen, folgen wir dem Arbeitsablauf der Abbildung 1.
Abbildung 1: Schema zum Prüfen der gegenseitigen Lage von Geraden

Zuerst wird geprüft, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Die Richtungsvektoren sind linear abhängig, wenn

\vec{a}=t\vec{b} gilt. Sind die Richtungsvektoren linear abhängig, dann bedeutet dies, dass sie in die selbe Richtung weisen – mithin können die Geraden parallel oder identisch sein. In der zweidimensionalen Geometrie hätten diese beiden Geraden die gleiche Steigung. Um zu prüfen, ob die Geraden identisch oder parallel sind, wird geprüft, ob ein Punkt der einen Gerade – beispielsweise der Stützvektor – auf der anderen Gerade liegt. Liegt der Punkt auf der Geraden, sind die beiden Geraden identisch; liegt er nicht darauf, sind sie parallel.

Sind die Richtungsvektoren nicht linear abhängig, können die Geraden sich schneiden oder windschief sein. Um dies zu errechnen, werden die beiden Geraden gleich gesetzt und es wird versucht, das entstehende Gleichungssystem zu lösen. Gibt es eine Lösung, dann gibt es auch einen Schnittpunkt, gibt es keine Lösung, sind die beiden Geraden windschief.

Schauen wir uns ein Beispiel mit den beiden Geraden

    \begin{eqnarray*}g:&\overrightarrow{x}=&\left(\begin{array}{c} 7\\ 7\\ 4 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 1\\ -2\\ 6 \end{array}\right)\;\textrm{und}\\h:&\overrightarrow{x}=&\left(\begin{array}{c} 3\\ 0\\ 5 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -3 \end{array}\right)\end{eqnarray*}

an. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Dies erkennt man an der zweiten Komponente. Die Null kann mit keiner Zahl so multipliziert werden, dass sie -2 ergibt. Die Geraden können damit nicht parallel oder identisch sein. Wir prüfen auf einen Schnittpunkt, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:

    \begin{eqnarray*}&\left(\begin{array}{c} 3\\ 0\\ 5 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -3 \end{array}\right)=&\left(\begin{array}{c} 7\\ 7\\ 4 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 1\\ -2\\ 6 \end{array}\right)\;\\\Longleftrightarrow&\begin{array}{ccc} 3+t & = & 7+s\\ 0 & = & 7-2s\\ 5-3t & = & 4+6s \end{array}&\end{eqnarray*}

Aus der mittleren Gleichung folgt s=\frac{7}{2}. Setzt man dies in die erste Gleichung ein, so erhält man t=\frac{15}{2}. Das Einsetzen dieser beiden Werte in die dritte Gleichung zeigt, dass die beiden Seiten dieser Gleichung nicht gleich sind; es gibt keinen Schnittpunkt und die Geraden sind windschief.

Die Lage zweier Ebenen

Im Raum können zwei Ebenen identisch oder parallel sein oder sie können sich schneiden. Falls sie sich schneiden, ist die gemeinsame Menge der Punkte die Schnittgerade. Im Vergleich zur Lage von zwei Geraden gibt es die Möglichkeit “windschief” nicht.

Damit zwei Ebenen identisch oder parallel sein können, müssen die Richtungsvektoren eine Linearkombinationsein.

Das Vorgehen bei der Überprüfung der Lage von Ebenen hängt davon ab, in welcher Form die Ebenen vorliegen.

Beide Ebene in der Parameterform

Liegen beide Ebenen in der Parameterform vor, so setzt man die Ebenen gleich. Je nachdem, ob sich aus aus dem Gleichungssystem keine, eine oder unendlich viele Lösungen ergeben, handelt es sich um parallele, sich schneidende oder identische Ebenen.

Betrachten wir ein Beispiel mit den beiden Ebenen

    \begin{eqnarray*}E_{1}:\overrightarrow{x}&=&\left(\begin{array}{c} 5\\ 0\\ 3 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right)\\E_{2}:\overrightarrow{x}&=&\left(\begin{array}{c} 5\\ 2\\ 4 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 1 \end{array}\right).\end{eqnarray*}

Als erstes prüfen wir, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Dazu bilden wir für beide Ebenen jeweils den Normalenvektor beispielweise mit Hilfe des Vektorproduktes. Sind die Normalenvektoren linear abhängig, so sind die Ebenen entweder parallel oder identisch. Den Unterschied zwischen parallel und identisch erhält man, wenn man untersucht, ob der Stützvektor der einen Ebene in der anderen Ebene liegt. Tut er dies, so sind die Ebenen identisch, ansonsten sind sie parallel.

Im betrachteten Fall sind die beiden Normalenvektoren

    \begin{eqnarray*}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0 \end{array}\right)\mathrm{x\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right)}&=&\left(\begin{array}{c} -1*1-0*1\\ 0*0-1*1\\ 1*1-0*(-1) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1\\ -1\\ 1 \end{array}\right)\;\mathsf{und}\\\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\mathrm{x\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 1 \end{array}\right)}&=&\left(\begin{array}{c} 0*1-1*(-1)\\ 1*1-0*1\\ 0*(-1)-1*0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0 \end{array}\right)\end{eqnarray*}

nicht linear abhängig. Die Ebenen sind weder identisch noch parallel. Also werden die beiden Ebenen gleichgesetzt und als Gleichungssystem geschrieben:

    \begin{eqnarray*}5+r&=&5+u\\-r+s&=&2-u\\3+s&=&4+t+u.\end{eqnarray*}

Es handelt sich um ein Gleichungssystem mit vier Variablen r, s, t, u) und drei Gleichungen. Da die Ebenen nicht parallel oder identisch sind, werden wir nicht alle Variablen ausrechnen können, sondern am Ende eine Bedingung erhalten, so dass man eine Variable durch eine andere ausdrücken kann. Dadurch kann man die Schnittgerade bestimmen.

Aus der ersten Gleichung folgt r=u. Berücksichtigt man dies in der zweiten Gleichung, ergibt sich s=2. Setzt man dies in die dritte Gleichung ein, so ergibt sich u=1-t. Ersetzt man u in der Ebenengleichung E_2  entsprechend des errechneten Ergebnisses, so ergibt sich die Schnittgerade:

    \[g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c} 5\\ 2\\ 4 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)+(1-t)\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 5\\ 2\\ 5 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} -1\\ 1\\ 0 \end{array}\right).\]

Eine Ebene in der Parameterform, eine in der Koordinatenform

Wir wandeln die erste der beiden Ebenengleichungen aus dem vorherigen Abschnitt in die Koordinatenform um und erhalten

    \[E_1: x_1-x_2+x_3+2=0.\]

Die Ebenengleichung, die in Parameterform gegeben ist, wird nun in die drei Gleichungen für x_1, x_2 und x_3 aufgelöst und in die Ebene in Koordinatenform eingesetzt:

    \begin{eqnarray*}&-(5+u)-(2-u)+4+t+u+2&=0\\\Longleftrightarrow&-5-u-2+u-+t+u+2&=0\\\Longleftrightarrow&t&=1-u. \end{eqnarray*}

Einsetzen dieses Ergebnisses in die Ebenengleichung ergibt die Schnittgerade

    \[g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c} 5\\ 2\\ 4 \end{array}\right)+(1-u)\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 5\\ 2\\ 5 \end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0 \end{array}\right).\]

Diese Gerade ist mit der im vorigen Abschnitt errechneten Gerade identisch.  Sollte die Gleichung keine Lösung haben, dann sind die Ebenen parallel, hat es unendlich viele Lösungen, sind sie identisch.

Beide Ebenen in der Koordinatenform

Die oben in Parameterform definierten Ebenen lauten in Koordinatenform

    \begin{eqnarray*}E_1:-x_1-x_2+x_3&=&-2\\E_2:x_1+x_2&=&7.\end{eqnarray*}

Wir haben ein System mit zwei Gleichungen und drei Variablen; dies bedeutet, dass wir einen Freiheitsgrad haben und damit eine Variable selbst festlegen können.

Normalerweise werden als erstes die beiden Gleichungen so zu einer Gleichung zusammen gefasst, dass eine der Variablen entfällt. Dieser Schritt entfällt in diesem Beispiel, da die dritte Gleichung x_1+x_2=7 lautet.

Nun ersetzen wir eine der beiden übrigen Variablen durch s und lösen nach der anderen Auf. Hier wählen wir x_1=s. Damit ergibt sich x_2=7-s. Einsetzen von x_1 und x_2 in eine der ursprünglichen Ebenengleichungen – hier in die erste – ergibt

\)-s-(7-s)+x_3=-2\) und damit x_3=5. Damit ergibt sich für unser Ergebnis:

    \[g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}s\\7-s\\5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+s\\7-s\\5+0s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\7\\5\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right).\]

Für s=5 sieht man sofort, dass der Ortsvektor der oben errechneten Geraden auch auf dieser Geraden liegt. Da die Richtungsvektoren gleich sind, sind die errechneten Geraden also identisch.

 

Die Lage von Ebene und Gerade

Eine Ebene und eine Gerade können im Raum entweder

  • parallel sein,
  • die Gerade kann in der Ebene liegen oder
  • sie können sich schneiden und damit einen Punkt gemeinsam haben.

Die Vorgehensweise hängt davon ab, in welcher Form die Ebenengleichung vorliegt.

Ebenengleichung in Parameterform

Wir betrachten erneut die Ebene

    \[E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 5\\ 2 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 1\\ 3\\ 4 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c} 4\\ 1\\ 5 \end{array}\right),\]

die in der Normalenform durch

    \[\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c} 1\\ 5\\ 2 \end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ -1 \end{array}\right)=0 \]

beschrieben werden kann. Eine Gerade, die parallel zu dieser Ebene ist oder in ihr liegt, muss einen Richtungsvektor haben, der senkrecht zum Normalenvektor dieser Ebene ist, z.B. (0/-1/1). Der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Gerade stehen senkrecht zueinander, weil das Skalarprodukt gleich Null ist. Betrachten wir die Gerade

    g\(:<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="http://lernwerkstatt-selm.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-426842e8a61cb230e1c449161ebc87d9_l3.png" height="68" width="246" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\[g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c} 2\\ 4\\ 2 \end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right),\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> so liegt sie in der Ebene, wenn ein beliebiger Punkt der Gerade in der Ebene liegt - insbesondere auch der Stützvektor der Geraden. Liegt dieser Punkt nicht in der Ebene, so ist die Gerade parallel zu Ebene. In diesem Fall liegt der Punkt nicht in der Ebene und damit sind Ebene und Gerade parallel. Betrachten wir eine Gerade, die einen Schnittpunkt mit der Ebene hat, die also weder parallel ist, noch in der Ebene liegt:g:<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="http://lernwerkstatt-selm.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd3babe324db61d07ff1d4df4dcab574_l3.png" height="68" width="232" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\[g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 3\\ 1 \end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right).\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Gerade ergibt nicht Null, so dass wir einen Schnittpunkt haben werden. Wir setzen Ebene und Gerade gleich und notieren die drei sich ergebenden Gleichungen<span class="ql-right-eqno">   </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="http://lernwerkstatt-selm.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ade411caeaf052d04fa3fb078569407_l3.png" height="71" width="186" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{eqnarray*}1+s+4t&=&1+u\\5+3s+t&=&3+u\\2+4s+5t&=&1+u.\end{eqnarray*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> Das Lösen dieses Gleichungssystems ergibt \(s=-\frac{5}{11}

, t=\frac{4}{11} und u=1. Setzt man u=1 in die Geradengleichung ein, so ergibt sich als Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene der Punkt (2/4/2).

Ebenengleichung in Koordinatenform

Eine Koordinatengleichung der gerade betrachteten Ebene ist

    \[x_1+x_2-x_3-4=0.\]

Zerlegt man die Geradengleichung in ihre drei Einzelgleichungen

    \begin{eqnarray*}x_{1}&=&1+u\\x_{2}&=&3+u\\x_{3}&=&1+u\end{eqnarray*}

und setzt in die Ebenengleichung ein, so kann man u errechnen:

    \begin{eqnarray*}1+u+3+u-(1+u)-4&=&0\\\Longleftrightarrow -1+u&=&0\\\Longleftrightarrow u&=&1.\end{eqnarray*}

Damit erhalten wir das gleich Ergebnis wie bei der vorherigen Berechnung.

Ebenengleichung in Normalenform

Eine Normalenform der in diesen Abschnitten betrachtete Ebene lautet

    \[\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c} 1\\ 5\\ 2 \end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ -1 \end{array}\right)=0.\]

Um zu prüfen, wie die Gerade zu der Ebene liegt, wird die Geradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt:

    \begin{eqnarray*}&\left[\left(\begin{array}{c} 1+u\\ 3+u\\ 1+u \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 1\\ 5\\ 2 \end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} u\\ -2+u\\ -1+u \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ -1 \end{array}\right)&=0\\\Longleftrightarrow&u-2u+u++1-u&=0\\\Longleftrightarrow&u&=1.\end{eqnarray*}

Wie bereits festgestellt, ist der Punkt (2;4;2) der Schnittpunkt zwischen Ebene und Gerade.

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