Suche

Drucken Drucken

Kostenbegriffe

Die Kostenfunktion eines Unternehmens kann z.B. die Form

    \[K(x)=\frac{1}{2}x^3-6x^2+25x+400\]

haben.

Die erste Unterscheidung, die zu treffen ist, ist die zwischen variablen Kosten und Fixkosten:

  • Variable Kosten hängen von der Ausbringungsmenge ab. In der Kostenfunktion oben sind dies alle Terme, die ein x enthalten.
  • Fixkosten sind unabhängig von der Ausbringungsmenge. Sie enthalten kein x. Sie entstehen beispielsweise durch die Abschreibung von Maschinen oder die Miete von Gebäuden.

In unserem Fall hier gilt:

    \begin{eqnarray*} K_v(x)&=&\frac{1}{2}x^3-6x^2+25x\\ K_f&=&400 \end{eqnarray*}

Die  durchschnittlichen Kosten oder  Stückkosten ergeben sich, wenn die jeweilige Kostenfunktion durch die Ausbringungsmenge geteilt wird. Die jeweiligen Kostenfunktionen im Beispiel:

    \begin{eqnarray*} \text{Gesamte Durchschnittskosten: } k(x)=\frac{K(x)}{x}&=&\frac{1}{2}x^2-6x+25+\frac{400}{x}\\ \text{Durschschnittliche variable Kosten: } k_v(x)=\frac{K_v(x)}{x}&=&\frac{1}{2}x^2-6x+25 \end{eqnarray*}

Das Betriebsminimum \left( x_m;k_v(x_m)\right) ist der Tiefpunkt der durchschnittlichen variablen Kosten. Es muss also – aufgrund der Bedingungen für ein Minimum – gelten:

    \[k'_v(x_m)=0 \wedge k''_v(x_m)>0.\]

In dem Beispiel:

    \[k'_v(x)=x-6=0 \Longrightarrow x_m=6.\]

Da die zweite Ableitung k''_v(x)=1 positiv für alle x und

    \[k_v(6)=\frac{1}{2}*6^2-6*6+25=7\]

ist, liegt das Betriebsoptimum bei (6,7). Die kurzfristige Preisuntergrenze beträgt damit auch 7 GE. Bei einem solchen Preis würde ein Verlust in Höhe der Fixkosten erwirtschaftet. Dies kann ein Unternehmen nur kurzfristig durchhalten.

Das Betriebsoptimum ist der Tiefpunkt der durchschnittlichen Kosten (Stückkosten). Es muss also wegen der Bedingungen für ein Maximum gelten:

    \[k'(x_b)=0 \wedge k''(x_b)>0.\]

In dem Beispiel ergibt sich:

    \[k'(x)=x-6-\frac{400}{x^2} \Longrightarrow x_b=10.\]

Dies eingesetzt in die zweite Ableitung ergibt ein Minimum, da

    \[k''(x)=1+\frac{800}{x^3}, k''(10)>0.\]

Das Betriebsoptimum wird auch als langfristige Preisuntergrenze bezeichnet. Bei der Verwirklichung des Betriebsoptimums und einem Preis von 55 würde langfristig weder ein Gewinn noch ein Verlust erzielt.

Drucken Drucken

Schreibe einen Kommentar