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Kongruenz

Zwei kongruente Figuren sind deckungsgleich. Sie können dabei durch die Kongruenzabbildungen Spiegelung, Drehung und Verschiebung verändert werden. Dadurch ändert sich aber weder ihre äußere Form noch ihre Größe. Im Gegensatz zum Konzept der Ähnlichkeit ist eine Vergrößerung oder Verkleinerung durch zentrische Streckung nicht erlaubt.

Kongruenz fordert damit mehr als Ähnlichkeit. Wenn zwei Figuren kongruent sind, dann sind sie auch ähnlich. Zwei ähnliche Figuren hingegen müssen nicht kongruent sein.

Es gibt Kongruenzsätze für Dreiecke. Diese besagen, dass zwei Dreiecke kongruent sind, die

  • in der Länge aller drei Seiten übereinstimmen (SSS) oder
  • in der Größe eines Winkels und der beiden anliegenden Seite übereinstimmen (SWS) oder
  • in der Länge einer Seite und der Größe der beiden anliegenden Winkel übereinstimmen (WSW) oder
  • in der Länge zweier Seiten und der Größe des Winkels, der der längeren Seite gegenüber liegt (SsW).

Bei der Konstruktion von Dreiecken nach den Kongruenzsätzen geht man wie folgt vor:

  • SSS:

Zeichne die Strecke c mit der Länge \overline{AB}. Schlage um A einen Kreis mit dem Radius b=\overline{AC} und um B einen Kreis mit dem Radius a=\overline{BC}. Die Schnittpunkte der beiden Kreise in C bzw. C' ergeben zwei kongruente Dreiecke ABC bzw. ABC'. Bei den folgenden Fällen wird nicht mehr explizit erwähnt, dass es zwei Lösungen gibt.

  • SWS

Es wird einer der gegebenen Seiten gezeichnet. Anschließend wird der Winkel konstruiert und auf dem so entstehenden freien Schenkel des Winkels die andere Strecke abgemessen. Zum Schluss werden die beiden Endpunkte der Schenkel des Winkels miteinander verbunden.

  • WSW:

Es wird die gegebene Strecke – beispielsweise b=\overline{AC} – gezeichnet. Anschließend werden an b in A der Winkel \alpha und an b in C der Winkel \gamma abgetragen. Der Punkt, in dem sich die beiden freien Schenkel der Winkel schneiden, ist der Punkt B. Sollte eine Seite und gegeben sein und ein Winkel, der dieser Seite gegenüber liegt, so kann man den dritten Winkel über die 180-Grad-Regel ausrechnen.

  • SsW:

Zuerst wird die kürzere der gegebenen Seiten gezeichnet. An einem der Enden der Strecke wird der Winkel abgetragen. Um das andere Ende der Strecke wird ein Kreisbogen mit der längeren Seite als Radius geschlagen. Der dritte Punkt des Dreiecks liegt dort, wo sich der Kreisbogen und der freie Schenkel des Winkels treffen.

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