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Kettenregel

Die Kettenregel ist eine spezielle Regel, um Ableitungen zu berechnen. Die Kettenregel wird benutzt, wenn zwei Funktionen miteinander verkettet sind: f⁡(x)=u(v⁡(x)). Ein Beispiel dafür ist f⁡(x)=\sqrt{3x^2+5x+4}. Man spricht dabei von einer äußeren Funktion u – im Beispiel ist dies die Wurzelfunktion – und einer inneren Funktion – im Beispiel v(x)=3x^2+5x+4. Die Ableitung dieser Funktion setzt sich nach der Regel „äußere Ableitung mal innere Ableitung“ zusammen, formal:

    \[f' (x)=u'(v⁡(x))*v'⁡(x).\]

Die innere Funktion ist dabei die Funktion, in die Variable zuerst eingesetzt wird. Bei der Ableitung betrachtet man zuerst, wie sich die innere Funktion bei einer Änderung der Variablen ändert (innere Ableitung). Diese Änderung wird nun mit der Änderung multipliziert, die ergeben hätte, wenn die äußere Ableitung direkt von der Variablen abhängig gewesen wäre (äußere Ableitung).

In unserem Beispiel ist die äußere Ableitung die Ableitung der Wurzelfunktion, also u'⁡(x)=\frac{1}{2v⁡(x)} und die innere Ableitung ist v'⁡(x)=6x+5 . Zusammen ergibt sich als Ableitung

    \[f'⁡(x)=\frac{6x+5}{2\sqrt{3x^2+5x+4}}.\]

Aufgabe: Oftmals werden Wachstumsprozesse untersucht. Eine solche Funktion hat das Aussehen f⁡(x)=ce^{\frac{ax}{b}}. Geben Sie Ableitung dieser Funktion an.

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