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Inverse einer Matrix

Die Inverse einer Matrix M^{-1} ist die Matrix, mit der die Ausgangsmatrix Mmultipliziert wird, um die Einheitsmatrix zu erhalten:

    \[M*M^{-1}=E.\]

Die Inverse Matrix gibt es nur bei quadratischen Matrizen, also bei Matrizen, die die gleiche Anzahl Zeilen und Spalten haben. Es gibt nicht zu jeder quadratischen Matrix eine inverse Matrix.

Die Multiplikation einer Matrix mit der Inversen einer anderen Matrix wirkt so, als ob man die Matrix durch die Ausgangsmatrix der Inversen dividiert hätte.

Die Inverse zu einer Matrix wird prinzipiell mit dem Gauß-Verfahren bestimmt. Allerdings befindet sich auf der rechten Seite der “Gleichung” kein Ergebnis, sondern die Einheitsmatrix. Schauen wir uns ein Beispiel an. Wir suchen die Inverse zu

    \[M=\begin{pmatrix}2&1&2\\1&4&8\\1&2&2\end{pmatrix}\]

. Wir schreiben die entsprechende Tabelle auf:

 

\text{I} 2 1 2 1 0 0
\text{II} 1 4 8 0 1 0
\text{III} 1 2 2 0 0 1

 

Diese Matrizen werden nun mit Hilfe von Schritten aus dem Gauß–Verfahren – Addieren und Subtrahieren von Zeilen sowie Vervielfachen von Zeilen – so geändert, dass die Einheitsmatrix auf der linken Seite steht. Auf der rechten Seite findet sich dann die inverse Matrix. Wir durchlaufen dieses Verfahren einmal für das gegebene Beispiel. Zuerst schaffen wir in der ersten Spalte auf der linken Seite an der zweiten und dritten Stelle je eine Null:

 

\text{I} 2 1 2 1 0 0
\text{II}_a=\text{II}-\frac{1}{2} I 0 \frac{7}{2} 7 -\frac{1}{2} 1 0
\text{III}_a=\text{III}-\frac{1}{2} I 0 \frac{3}{2} 1 -\frac{1}{2} 0 1

 

Nun multiplizieren wir die zweite und dritte Zeile mit 2, um die Brüche zu beseitigen:

 

 

\text{I} 2 1 2 1 0 0
\text{II}_b=2\text{II}_a 0 7 14 -1 2 0
\text{III}_b$=2*$\text{III}_a 0 3 2 -1 0 2

 

 

 

Anschließend werden in der zweiten Spalte das erste und dritte Element in eine Null verwandelt:

 

\text{I}_a=\text{I}-\frac{1}{7}\text{II}_b 2 0 0 \frac{8}{7} -\frac{2}{7} 0
\text{II}_b 0 7 14 -1 2 0
\text{III}_c=\text{III}_b-\frac{3}{7}\text{II}_b 0 0 -4 -\frac{4}{7} -\frac{6}{7} 2

 

und

 

\text{I}_b 1 0 0 \frac{4}{7} -\frac{1}{7} 0
\text{II}_d=\frac{1}{7}\text{II}_c 0 1 0 -\frac{3}{7} \frac{1}{7} 1
\text{III}_d 0 0 1 \frac{1}{7} \frac{3}{14} \frac{1}{2}

Die inverse Matrix zu

    \[\begin{pmatrix}2&1&2\\1&4&8\\1&2&2\end{pmatrix}\]

ist also

    \[\begin{pmatrix}\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}&0\\-\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}&1\\\frac{1}{7}&\frac{3}{14}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}.\]

 

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