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Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel bei der Ableitung; sie wird benutzt, wenn zwei miteinander verschachtelte Funktionen vorliegen. Daher ähnelt die allgemeine Form für die Bestimmung eines bestimmten Integrals mit Hilfe der Integration durch Substitution auch der Kettenregel:

    \[\int\limits_a^b f\left( z(x) \right) z'(x) dx=\int\limits_{z(a)}^{z(b)}f(x) dx.\]

Auf der linken Seite der Gleichung steht ein Ausdruck, der an „äußere Ableitung mal innere Ableitung“ erinnert. Um eine Aufgabe konkret lösen zu können, sollte man vier Schritte durchlaufen:

Substitution, Ableitung und Umformung
Substitution im Integral
Ausrechnen des Integrals
Rücksubstitution

Sehen wir uns dies an einem Beispiel an: f(x)=\sqrt{6x-4}. Als erster Schritt substituieren wir die innere Funktion: z=6x-4. Als nächstes wird dieser Ausdruck nach x differenziert und nach dx umgestellt, weil wird dies in der Aufgabe ersetzen wollen.

    \begin{eqnarray*}&&\frac{dz}{dx}=6\\\Longleftrightarrow &&dx=\frac{dz}{6}.\end{eqnarray*}

Als nächstes ersetzen wird die innere Funktion im Integral und ersetzen danach dx durch den oben gewonnenen Ausdruck: Da dann keine x mehr vorkommt, können wir den verbleibenden Ausdruck integrieren und anschließend die Substitution rückgängi machen:

    \begin{eqnarray*}\int \sqrt{6x-4}\ dx&=&\int \sqrt{z}\ dx\\&=&\int \sqrt{z}\frac{dz}{6}\\&=&\frac{1}{6}\int z^{\frac{1}{2}}\ dz\\&=&\frac{1}{6}\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}\\&=&\frac{1}{9}\sqrt{z^3}\\&=&\frac{1}{9}\sqrt{(6x-4)^3}.\end{eqnarray*}

Das bestimmte Integral, beispielsweise in den Grenzen 1 und 2, können wir wie folgt berechnen:

    \begin{eqnarray*}\int\limits_1^2\sqrt{6x-4}\ dx&=&\frac{1}{6}\int\limits_2^8\sqrt{x}*6\ dx\\&=&\frac{1}{6}\left[\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\right]_2^8\\&=&\frac{1}{9}\left(\sqrt{256}-\sqrt{8}\right)\\&=&\frac{14}{9}\sqrt{2}.\end{eqnarray*}

Die 6 beziehungsweise die \frac{1}{6} in der ersten Zeile sind die innere Ableitung von 6x-4 und deren Ausgleich. Die Grenzen 2 und 8 an den zweiten Integral ergeben sich durch Einsetzen von 1 und 2 in 6x-4.

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