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Hornerschema

Das Horner-Schema ist eine Möglichkeit,

  • Funktionswerte zu berechnen,
  • Nullstellen zu finden,
  • eine Linearfaktorzerlegung ganzrationaler Funktionen vorzunehmen oder
  • schiefe Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen zu finden.

Prinzipiell läuft das Schema bei einer Funktion dritten Grades der Form f⁡(x)=ax^3+bx^2+cx+d wie folgt ab:

a
b
c
d
x=x_1
e_1=ax_1
e_3=e_2x_1
e_5=e_4x_1
a
e_2=b+e_1
e_4=c+e_3
f⁡(x_1)
Nehmen wir das Beispiel aus dem Abschnitt Polynomdivision, f⁡(x)=x^3+5x^2+9x+5, und bestimmen dort einige Funktionswerte:
1
5
9
5
x1=1
1
6
15
1
6
15
20
x2=-1
-1
-4
-5
1
4
5
0
x3=2
2
14
46
1
7
23
51
x4=-2
-2
-6
-6
1
3
3
-1
Schauen wir uns das Vorgehen für x_4=-2 an. Zuerst wird Koeffizient{{1}}[[1]]Die Koeffizienten sind die Zahlen, die vor den Variablen stehen; in der Tabelle stehen sie in der ersten Zeile.[[1]] der höchsten Potenz (hier x^3, Koeffizient 1) in die  Zeile darunter übernommen. Anschließend wird er mit x_4=-2 multipliziert und dieses Ergebnis unter den Koeffizienten der nächsthöheren Potenz (5) geschrieben. Anschließend werden Koeffizient und Ergebnis addiert. Das Ergebnis dieser Addition (5-2=3) wird in die untere Zeile geschrieben. Dieses Verfahren wird nun wiederholt. 3 wird mit x_4=-2 multipliziert (-6), das Ergebnis unter den nächsten Koeffizienten (9) geschrieben und anschließend werden diese beiden Werte addiert (9-6=3). Dieses Verfahren wird so lange wiederholt, bis wir ein Ergebnis unter den letzten Koeffizienten schreiben. In diesem Beispiel ist dies schon im nächsten Schritt der Fall. Dort ergibt sich 5+(-2)*3=-1. Damit haben wir Funktionswert an der Stelle x_4=-2 berechnet.
In der obigen Tabelle haben wir bisher die folgenden Funktionswerte berechnet:
x
f⁡(x)
-2
-1
-1
0
1
15
2
46
Wir haben eine Nullstelle bei x=-1 gefunden. Nehmen wir nun diese Zeile, die in der obigen Tabelle fett gedruckt ist, so geben die Zahlen 1, 4 und 5 genau die Koeffizienten der reduzierten Funktion, wie sie in Abschnitt Polynomdivision berechnet wurde. Es können also mit der Funktion x^2+4x+5 eventuelle weitere Nullstellen berechnet werden.

 

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