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Grenzwerte ganzrationaler Funktionen

Bei den Grenzwerten geht es darum, wie sich die Funktion verhält, wenn die variable  x unendlich große oder unendlich kleine Werte annimmt.Es werden also

    \[\lim\limits_{x\to \infty}f⁡(x)\text{ und }\lim\limts_{x\to -\infty}f⁡(x)\]

für ganzrationale Funktionen des Typs

    \[f⁡(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1x+a_0 \]

gesucht. Der Grenzwert wird von zwei Faktoren bestimmt. Er hängt davon ab,

  1. welchen Koeffizienten der Term mit dem höchsten Exponenten hat – es geht also um das Vorzeichen von a_n – und
  2. ob dieser höchste Exponent – also der Grad der Funktion – gerade oder ungerade ist.
  • Größter Exponent gerade, positives Vorzeichen (z.B.: f⁡(x)=x^4): \lim\limits_{x\to \infty}f⁡(x)=\infty\lim\limits_{x\to -\infty}f⁡(x)=\infty
  • Größter Exponent ungerade, positives Vorzeichen (z.B.: f⁡(x)=x^3)\(: \(\lim\limits_{x\to \infty}f⁡(x)=\infty, \lim\limits_{x\to -\infty}f⁡(x)=-\infty
  • Größter Exponent gerade, negatives Vorzeichen (z.B.: f⁡(x)=-x^4): \lim\limits_{x\to \infty}f⁡(x)=-\infty, \lim\limits_{x\to -\infty}f⁡(x)=-\infty
  • Größter Exponent ungerade, negatives Vorzeichen (z.B.: f⁡(x)=-x^3): \lim\limits_{x\to \infty}f⁡(x)=-\infty, \lim\limits_{x\to -\infty}f⁡(x)=\infty

Man sieht, dass die beiden Grenzwerte bei ganzrationalen Funktionen jeweils übereinstimmen, wenn der höchste Exponent gerade ist und dass sie verschieden sind, wenn der höchste Exponent ungerade ist.

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